グラフ電卓を活用した教材例

in [数ナビの部屋]

数式処理のできるグラフ電卓を活用した実際の教材例をまとめました。

グラフ電卓を活用して数学ロードを駆け抜けよう!

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■ グラフ電卓を利用した教材例
★このページは高専在職中に作成したページで、 現在は更新しておりません。
[御案内] ここでは、 数ナビ利用の授業で配布したプリントを公開します。 細かい誤りを含んでいるものもありますが、 訂正されていませんのでご了承ください。 ただし、私自身にとっても試行錯誤を伴う初めての授業なので、 すべては公開できません。これから数ナビを活用した授業を 試みようとする方の参考になりそうなものを公開するものです。
■ 平成23年度
「数ナビ」操作マニュアル
本校の物質化学工学科では、 平成17年度より「TI-89Titanium」を新入生に購入させています。 その機能を数学や工学の専門科目でフル活用することで、 工学教育の新たな教育プログラムを構築できるのではないかと思い、 物質化学工学科の先生方と共同で科研費申請したところ、 平成22年度より3年計画の研究が認められました(課題番号:22500830)。 まず、学生が数ナビを使いこなせるようにすることが必要なので、 実際の授業に即した操作マニュアルを作成しました。

■ 平成18年度
タンチョウの個体数変化で環境を考える [PPT: 1.97MB]

「数ナビ」との関連はありませんが、タンチョウの個体数変化を通して 「環境」について考察する授業を試行しました。 タネ本は、「 数学で考える環境問題」(小寺隆幸著、明治図書、 ISBN4-18-697010-6)の第4章「タンチョウの数はどう変化するか」です。 小寺隆幸先生の了解を得ましたので、ここに登録します。 90分か2時間(50分×2)あれば授業可能です。 パワーポイントで解説しながら、学生には別途計算用の プリント(PDF:131KB)を配布して 電卓(数ナビでなくともよい)で計算してもらいました。

この授業は、平成18年度より毎年行われていますが、 どの年度も学生の反応は極めて良好です。 どの学生も、 数学が現実世界の中でどのように利用されているのかについての 認識を新たにしています。

なお、この連携授業の概要と学生の反応をとりまとめ、 このような授業の意義について考察して 数学教育学会誌に発表しました。 小寺先生は、この教材が広く利用されることを希望しています。


■ 平成16年度
「自由研究」に対する学生の感想 [PDF: 54KB]
平成16年度に3回行った「自由研究」に対する学生の感想です。 多くの学生が、「考えること」「発見すること」への喜びを感じています。

冬季の自由研究 [PDF: 108KB]
秋季に行った自由研究で、学生から指摘のあった事項をまとめました。 内容は、三平方の定理、\(x^n+1\) の因数分解、そして 3次関数 \(y=(x-a)(x-b)(x-c)\) のグラフに 関するものです。学生に配布したプリントでは、 個々の事項を指摘してきた学生の名前を入れ、幾つかの事項については 私の解説も加えました。

秋季の自由研究 [PDF: 107KB]
秋季に行った自由研究で、学生から指摘のあった事項をまとめました。 内容は、3次関数 \(y=x^3+ax^2+bx+c\) のグラフに関するものです。 学生に配布したプリントでは、 個々の事項を指摘してきた学生の名前を入れ、幾つかの事項については 私の解説も加えました。

夏期の自由研究 [PDF: 116KB]
夏期休業後の自由研究で、学生から指摘のあった事項をまとめました。 内容は、二項定理、\(x^n-1\) の因数分解、連分数、絶対値関数のグラフに 関するものです。学生に配布したプリントでは、 個々の事項を指摘してきた学生の名前を入れ、幾つかの事項については 私の解説も加えました。

夏期休業課題「グラフ・アート」 [PDF: 80KB]
夏期休業後に提出されたグラフ・アートから、 私の判断で抽出した42作品を紹介します。 よくこれだけのものを作ってくるな〜、 といつも感嘆させられます。

夏期休業の課題 [PDF: 94KB]
夏期休業の課題です。 通常の問題演習の他に、グラフ・アートと数ナビを利用した自由研究 を課しています。

数ナビの使い方 [PDF: 381KB]
この年度も、夏休み直前に数ナビを貸与しました。 その使い方を説明するために作ったプリントは、 これまでと大体同じプリントです。 3回の授業(50分×3)で説明しました。 今年は代数関係の担当なので、はじめに代数機能の説明をして、 その後で関数グラフの描画のさせ方について説明し、 最後にグラフアートの作成方法を解説しました。

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■ 平成15年度
冬季休業課題「グラフ・アート」 [PDF: 87KB]
冬季休業後に提出されたグラフ・アートから、 私の判断で抽出した42作品を紹介します。 学生には作品の名前もつけてもらったのですが、 部屋の引越し等の中で紛失してしまいました。

数ナビの使い方(1)(2) [PDF: 135KB]
この年度は、夏休み直前に数ナビを貸与しました。 貸与後に、その使い方を説明するために作ったプリントです。 最初の1時間目に「数ナビの使い方(1)」(B4裏表)を配布し、 裏面のズーム機能(ZoomBox)まで説明しました。 そのプリントは文字情報ばかりなことを反省し、 2時間目には液晶画面を貼りつけたものを作成して配布しました。 2時間目の説明は、1時間目に説明した使い方の復習をした後、 「使い方(1)」の裏面の残りを説明しました。 そして、15〜20分の残り時間で、 操作練習を行う問題[3]を行いました。 「操作が分からない場合は遠慮なく質問するように」といくら叫んでも、 ダンマリを決めこむ学生もいるので、 ちゃんと操作できたかどうかが分かるようにしてあります。 時間は足りなかったものの、この2時間の説明で、 大体の操作はできるようになったと判断されました。

■ 平成14年度
2002年冬季休業の課題(グラフ・アート) [PDF: 135KB]
いろいろな関数のグラフを繋ぎ合わせて、 適当な「絵」を作ってくることを冬季休業の課題としました。 休み明けに提出された学生の163作品のうちの45作品について、 使用されている関数の種類や学生の感想をまとめました。 提出率97%です。

 なお、数ナビは、冬季休業に入る1週間前に貸与し、 3時間(50分×3)かけてグラフ機能に関する説明をしました。 説明はプロジェクターで液晶画面を大写しにしながら行いました。

■ 平成13年度
学生の感想(平成13年度1年生) [PDF: 109Kb]
数ナビ「TI-89」を1ヶ月個人貸与し、 単純な答え合わせで利用した学生の感想です。

関数の総復習 [PDF: 391KB]
平成13年度の1年生に数ナビ「TI-89」を個人貸与して、 関数の総復習をさせたときに配布したプリント(8枚)です。 いずれも、数ナビがなくとも解ける問題ばかりです。 学生は数ナビを「答え合わせ」として利用しました。

数ナビの使い方(1)(2)(3) [PDF: 297KB]
平成13年度の1年生に、1月下旬に数ナビ「TI-89」を個人貸与したとき、 その使用法を説明するために配布したプリント(4枚)です。 主に、通常の電卓としての使い方、グラフ機能の使い方、 そしてテーブル機能の使い方の説明です。

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■ 平成12年度
学生の感想(平成12年度2年生) [PDF: 48KB]
数ナビ「TI-89」を、平成12年6月から翌年2月末まで個人貸与されて 微積分の授業を受けた学生の感想です。

極座標で表された関数のグラフ [PDF: 166KB]
\(y=f(x)\) のグラフを描いて、 そのグラフを見ながら極座標 \(r=f(\theta)\) のグラフを描けるように させようとしたときのプリントです。 学生は自分で極座標のグラフを考え、 正しいかどうかを数ナビで確認しました。

冬季休業の課題(グラフ・アート) [PDF: 93KB]
いろいろな関数のグラフを繋ぎ合わせて、 適当な「絵」を作ってくることを冬季休業の課題としました。 そのときの説明に利用したプリントです。 休み明けに提出された学生の作品は こちら (PDF: 136KB) です。提出率85%でした。

グラフ上の動きと媒介変数表示 [PDF: 116KB]
グラフ上を動く点の動き方から、 その動きを媒介変数を使った関数で表現させようとしたときのプリントです。 媒介変数表示については、それ以前に学習済みです。 これは、その復習を兼ねたものになっています。 学生は、自分の考えた関数が求めるような動きをするかどうか、 数ナビで確認しました。

基本的な関数グラフの復習 [PDF: 106KB]
図形の面積の学習のとき、 まず基本的な関数のグラフが描けないと困るので、 その総復習をさせるために作成したプリントです。 2時間連続授業で使用しました。

和の極限としての定積分の定義 [PDF: 107KB]
和の極限としての定積分の定義を理解させ、 数ナビの数式処理機能を利用して、2時間連続授業で 微積の基本定理に気づかせようと試みたときのプリントです。 学生は、いちいち「ふ〜ん」とうなずきながら数ナビを操作していました。 なお、このプリント学習の前に、定積分の定義については 一通り説明ずみです。つまり、問題[1]は、その復習としてのものです。 最後まで到達した学生は、そう多くはありませんでしたが、 クラスによっては、10名程が微分すれば元に戻ることに気づきました。

「数ナビ」の使い方 [PDF: 183KB]
数ナビのマニュアルも貸与しましたが、 使い方を簡単にまとめたものも配布しました。

媒介変数表示された関数 [PDF: 90KB]
数ナビのグラフ機能の使い方のまとめと、 媒介変数表示された関数の意味を理解させようとしたときのプリントです。

三角関数の導関数 [PDF: 90KB]
三角関数の導関数を学ぶ前に、数ナビのグラフ機能を利用して、 \(y=\sin(x)\) の各点の変化率の値をプロットさせて、 その導関数のグラフが \(cos(x)\) になることに気づかせようとしたものです。

三角関数の極限値 lim sin(x)/x [PDF: 89KB]
\(x\) を0に近づけたときの \(\sin(x)/x\) の極限値に、数ナビのグラフ機能を利用して 気づかせようとしたときのプリントです。 使用法の説明も兼ねているので、記述がちょっと冗長です。

合成関数の微分公式 [PDF: 42KB]
数ナビの数式処理機能を利用して、合成関数の微分公式に 気づかせようとしたときのプリントです。 半数以上の学生が、積を取ればよいことに気づきました。 3つに分解できる場合も同様であることに気づいたある学生は、 自分の発見に「すごい!」と言ってほくそえんでいました。

3次関数の係数とグラフの関係 [PDF: 70KB]
3次関数 \(y=x^3+ax^2+bx+c\) のグラフと、係数 \(a, b, c\) との関係について、 数ナビの操作を通して考察させる課題を出しました。 どのようなレポートが出されたかをまとめて学生に提示したものです。 学生にとっても、数学でこのような課題は初めてのことと思われ、 どのように書くべきかとまどいがあったようですが、 このような形のレポートを何度も積み上げていった場合には、 計りしれない効果があると思われます。 ただし、課題を出した後はフォローが必要であり、 そう何度も出せるような課題ではありません。

関数の変化と導関数との関係 [PDF: 64KB]
関数 \(f(x)\) の増減変化と導関数 \(f'(x)\) の符号との関係を、 数ナビの利用で理解させようとしたときのプリントです。 数ナビの使い方の説明も兼ねています。

導関数の意味 [PDF: 168KB]
導関数 \(f'(x)\) の意味についての理解を深めさせようとしたプリントです。 数ナビ利用を前提とする米国の教科書を参考にして作成しました。

関数の極限値 [PDF: 148KB]
数ナビを貸与して間もないときのもので、 数ナビを活用すると、関数の極限値について、 どのような理解が得られることになるかを実感させようとしたものです。 数ナビの使い方の練習を兼ねています。

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