「ベキ分布」:関連リンク集

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「ベキ分布(パレート分布)」に関する内容をまとめたリンク集です.

「ベキ分布」を究めて,この世界を乗り切ろう!

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■ 「ベキ分布」:関連リンク集


[御案内] 確率統計の授業は「正規分布」が万能であるかのような 授業構成になっていますが,
世の中は平均や分散が存在するとは限らない「ベキ分布(パレート分布)」に 支配されているようです.
ここでは,「ベキ分布」や「ベキ乗則」について解説しているWebサイトや 論文を取りまとめました.
 なお,Maximaを利用した解説は 「こちら」を, 「R」を利用した解説は「こちら」を参照して下さい.

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はじめに(概説)
ここでは、「ベキ分布」が天文のようなマクロから神経回路のようなミクロの世界まで、 さらには株価変動や戦争に関することまで、 世の中の至るところに現れてくることを紹介します。 その後で、簡単な概要を解説します。

■「ベキ分布」とは?
確率分布についてある程度学んだ人であっても, 「ベキ分布」には馴染みのない場合が多いと思われるので, 最初に具体例を紹介します.

県庁所在地の人口
下図は, ランキングサイトをもとに, 平成27年の国勢調査による県庁所在地47都市の人口を 人口の多い順に棒グラフで示したものです. 縦軸は人口(単位は「千人」),横軸は順位を表します.
ちなみに,1位は東京23区(9,272千人), 2位は横浜市(3,724千人), 3位は大阪市(2,691千人), 4位は名古屋市(2,295千人), 5位は札幌市(1,952千人)です.

このように急激に減少して,その後はダラダラと下がり続けていくグラフは, いろいろな場面で目にする機会が多いのではないでしょうか. このグラフの場合は反比例の関係になっており, \(\small f(x)=1000/x\) のグラフを重ねると下図のように わりと綺麗に重なっているのが分かります.

(注) このデータを回帰分析 \(\small y=C/x^{a}\) にあてはめると \(\small C=8911, a=0.97\) が得られますが, この数値を使ってもグラフは上図とほとんど重なります. 本来は \(\small y=9272/x\) で示すべきですが,簡単のため上式で提示しました.
これは, \(\small (人口)=10000/(順位)\) ということを示しており, 分母を払うと \(\small (人口)\times (順位)=10000\) , つまり人口と順位の積が一定であるということです. 実際,次のようになっており「10,000」の前後の値になっていることが 分かります.これは,他の順位で見ても同様です.

順位都市名人口 \(\small 人口\times 順位\)
  5札幌市1,952  9,760
10広島市1,19411,940
20大分市 478  9,560
30大津市 34010,200
40福井市 26510,600

ここでは \(\small 10000/x\) という関係でしたが, 一般には \(\small C/x^a\) というような関係にあるのが 「ベキ分布」です. ただし,このような関係をグラフにすると, 最初は非常に大きな桁数の値になり, その後は桁数の小さな値がダラダラと続きます. このように大きな値と小さな値が混在するときは, 縦軸の目盛りを常用対数にとるのが一般的です.

常用対数
常用対数は,要するにすべての値を \(\small 10^a\) のような 形で表して,その指数部分を考えようとするものです. たとえば,1光年は 約9,460兆メートルです. 大きめに見積もって「1京メートル」とすると, 「10,000,000,000,000,000 (m)」となりますが, この値を10のべき乗で表すと \(\small 10^{16}\) であり, 指数部分だけみると「16」という値になります. 逆に,非常に小さい値として分子や原子の大きさを扱うときは 「オングストローム」という単位が用いられますが, これは「0.0000000001(m)」のことであり,10のべき乗で表すと \(\small 10^{-10}\) なので, 指数部分だけをみると「\(\small -10\)」という値になります. つまり,原子の世界から宇宙の世界まで,\(\small 10^a\) の 形で考えると,\(\small a\) の値は \(\small -10\sim 20\) 程度の 値で済むことになります. \(\small b=10^a\) であるとき,指数 \(\small a\) のことを \(\small b\) の常用対数といい \(\small \log{b}\) で表します. たとえば,\(\small \log{1000}\) は \(\small 1000=10^3\) なので, \(\small \log{1000}=3\) となります.

身近にある対数
このような対数の値は,実際には日常でも聞き慣れたものになっています. 地震のマグニチュード(M)は,地震の膨大なエネルギー(E)を対数で表したもので, \(\small \log{E}=4.8+1.5M\) により定義されています. たとえば,マグニチュードが「8」の地震のエネルギーは, \(\small \log{E}=4.8+1.5\cdot 8=16.8\) であることから, \(\small E=10^{16.8}=6.3\times 10^{16}\) (J) です. 単位は「ジュール」です.
また,酸性・アルカリ性の程度はpHで表されますが, それは液体に含まれる水素イオンの濃度(H\(\small ^{+}\))で測定されます. その値は非常に小さいので,対数を取って \(\small {\rm pH}=-\log{H^{+}}\) で定義されます. たとえば,中性である \(\small {\rm pH}=7\) の場合の水素イオン濃度は, \(\small \log{H^+}=-7\) であることから, \(\small H^+=10^{-7}\) (mol/L) となります.


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両対数グラフ
以上の準備のもとで,県庁所在地の人口のグラフを 対数を利用して描画してみましょう. 5位までの都市の人口の常用対数の値は,次のようになります. 常用対数の具体的な値は,たとえば 「keisan」 を利用すると求められます.

順位都市名人口 常用対数
1東京23区9,2723.967
2横浜市3,7243.571
3大阪市2,6913.430
4名古屋市2,2953.361
5札幌市1,9523.290
40福井市   2652.423

東京の場合は,\(\small 9272\approx 10^{3.967}\) ということです. このように,常用対数をとると扱いやすい値に変換されます. 下図は,人口をすべて常用対数の値にとり, 順位も常用対数の値としています. このように,2つの座標軸を常用対数の値にとったグラフを 両対数グラフといいます. 縦軸は \(\small 100\sim 10000\) の範囲に限定しました. 縦軸の目盛りは人口の数になっていますが,実際には 対数の値である \(\small 2\sim 4\) の範囲となります. 1000までの目盛りは100刻み,1000から10000までの目盛りは1000刻みです. また,横軸は,10までの目盛りは1刻み,10から50までの目盛りは10刻みです.

ベキ分布の特徴
両対数グラフをみると,ほぼ直線状になっているのが分かります. 実際,\(\small y=C/x^a\) の関係があるとき, これらをことごとく10のべき乗に直して, \(\small x=10^p, y=10^q, C=10^r\) とすると \(\small 10^q=10^r/(10^p)^a=10^r/10^{ap}=10^{r-ap}\) となるので, 指数部分を比較すると \(\small q=r-ap\) となります. \(\small p=\log{x}, q=\log{y}\) であるので, 座標軸を対数の値に取ると対数の値である \(\small p, q\) の間には \(\small q=r-ap\) という1次式の関係が成り立ち, グラフは右下がりの直線になります. 指数の \(\small a\) が傾き部分を表すことになります. つまり,\(\small y=C/x^a\) という形のベキ乗で表されるグラフの 特徴は,それを両対数グラフで表すと傾きが \(\small -a\) の直線に なるということです.

ジップ(Zipf)の法則
この県庁所在地の人口は,順位をつけて並べると反比例の関係にあります. それは,人口と順位の積がほぼ一定(定数)であることを意味します. このような関係は 「ジップ(Zipf)の法則」と呼ばれています. 実際には,アメリカの言語学者 J.K.Zipf が, 小説「ユリシーズ」に現れる単語の頻度を調べて, その頻度と順位の積がほぼ一定であることを発見したことによります. この関係は単語の頻度や都市の人口だけに留まらず, 非常に多くの現象で見いだされています[参照].


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■「べき分布」の具体例
我々の住む世界は、至るところ「ベキ分布」だらけのようです。 ベキ分布は、分布の曲線が \(\small y=C/x^{a}\) のようなべき乗関数で 表されるような確率分布です。両辺の常用対数を取ると \[\small \log{y}=\log{C}-a\log{x}\] となるので、\(\small Y=\log{y}, X=\log{x}\) とおくと \(\small Y=\log{C}-aX\) となり 傾きが \(\small -a\) の直線になります。 このように、ベキ分布は、2つの座標軸を対数目盛にすると (つまり両対数グラフ [1] [2] [3] を考えると) 分布曲線が直線で表されるのが大きな特徴です。 べき指数 \(\small a\) の値は \(\small 2\sim 3\) の 値を取ることが多いようです。 下記のように、 この世界の多くの事象が両対数グラフでは直線で表され、 ベキ分布に従っていることが分かります。

【注】2つの変量 \(\small x, y\) の間に \(\small y=Cx^{\gamma}\) のような べき乗の関係があるとき、2つの変量の間には「べき乗則」が成り立つと言われます。 「ベキ分布」も \(\small y=C/x^{a}=Cx^{-a}\) と表せるので べき乗則を満たしています。 以下に紹介する大部分の例は「ベキ分布」に関する内容ですが、 幾つか「ベキ分布」ではないが「べき乗則」を満たす例が含まれています。 また、「ベキ分布」を「べき乗則」と呼んでいる場合もあります。

(1) 火星と木星の間にある小惑星帯
下図は、個々の小惑星の直径と個数頻度のグラフです。 8m望遠鏡で観測すると直径100m前後まで検出できるようです。 両対数グラフが直線になっているので、 小惑星の個数と直径はベキ分布に従っていることが分かります。

(2) 地震の規模(マグニチュード)と頻度
下図は、理科年表(2005年)のデータにより、 地震の規模と発生頻度の関係を示したものです。 マグニチュードは対数値を表すので、このグラフは両対数グラフです。 マグニチュードは対数値なので、横軸は対数軸での目盛りです。 見事な直線上に乗っています。この関係は 「グーテンベルク・リヒター則」と呼ばれています。

(3)ステンレス上の水滴の個数
下図は、ステンレス板の上の水滴の大きさと個数を両対数グラフで示したものです。 直線状になることから、ベキ分布に従っていることが分かります。

(4)高額納税額と順位
下図は、1997年の全国の高額納税者の納税額と、その順位の関係を示したものです。 これもジップの法則に従っています。 これは、この年度だけのことでも、日本だけのことでもありません。

(5)円ドル為替レートの変動
下図は、 円ドル為替レートの1分刻みの変動(13年間の約400万個のデータ)をもとに、 為替レートの変位を求めたものです。 横軸は変位 \(\small dP\) を標準偏差で割った値の絶対値、 縦軸は相補累積分布 \(\small P(X\geq |dP/\sigma|)\) です. ドル高方向(\(\small dP>0\))とドル安方向(\(\small dP<0\))に 分けて表示されていますが, ほとんど重なっているのが分かります. つまり、日々の為替レートは激しく変動するのですが、 その変動の大きさはランダムではなく、 ベキ分布にしたがって変動しているということです。

(6)戦争の戦死者と戦争の数
下図は、1816年から2007年までの世界における戦争の戦死者数と戦争の数の関係を 両対数グラフで示したものです。 縦軸は戦死者 \(\small x\) 人以上の戦争の数です。つまり \(\small P(X\geq x)\) と \(\small x\) との関係です。この関係も、ほぼベキ分布に従っています。

(7)流入キーワード別のアクセス数
下図は、ある2社のWebサイトの検索エンジン経由の流入キーワード別 アクセス数を両対数グラフで示したものです。 縦軸はキーワード毎のアクセス数、 横軸はアクセス数が多い順のキーワードの数です。

(8)細胞内代謝ネットワーク
下図は、43種類の生物の細胞内の代謝関係を酵素反応の基質を頂点、 基質間の反応を枝としたネットワークとして捉えて、 枝の数(横軸)による頂点の頻度(縦軸)を分析したものです。 両対数グラフで直線状になるということは、 頂点の数は枝の数を横軸としてベキ分布に従っているということです。 このようなネットワークはスケールフリー・ネットワークと呼ばれ、 マクロからミクロまで多くのネットワークで見いだされています。 一般に、頂点から伸びている枝の数を「頂点の次数」といい、 次数が \(\small k\) である頂点の頻度を「次数分布」といいます。 ベキ分布にしたがっていることは \(\small P(k)\propto k^{-\gamma}\) という関係にあることを示しています。

(9)タンパク質相互作用ネットワーク
下図は、タンパク質の相互作用を考えるとき、 個々のタンパク質を頂点、それらの相互作用を枝とみなしたネットワークを 考えるとき、そのネットワークの次数分布です。 つまり、一つのタンパク質がどれだけの数のタンパク質と相互作用をしているかが横軸、 その数と同じ数の相互作用をしているタンパク質の数が縦軸です。

★このように、マクロからミクロまで、 自然現象・経済現象・社会現象、さらには生体内部の様子にいたるまで、 分野を問わず様々な場面で「ベキ分布」が現れています。 「80:20の法則(パレートの法則)」や 「ジップ(Zipf)の法則」も ベキ分布によるものです。 これらを司る共通原理は、一体どのようなものなのでしょうか?
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■「ベキ分布」の定義
この確率分布の密度関数は、正確には \(\small a,b>0, C=ab^a\) とするとき、 次の関数で定義されます。 \[\small f(x)=\frac{C}{x^{a+1}}\quad (x\geq b)\] 要するに,度数分布やヒストグラムがべき乗で減衰していくような分布です。 発見者の名前で「パレート分布」と呼ばれることもあります。 そして、2変量がこのようなべき乗の関係にあるときは「ベキ乗則」 が成り立っているといわれます。 両辺の常用対数を取ると \[\small \log{f(x)}=\log{C}-(a+1)\log{x}\] となるので、\(\small Y=\log{f(x)}, X=\log{x}\) とおくと \[\small Y=\log{C}-(a+1)X\] となり、指数部分を傾きにもつ右下がりの直線になります。 つまり、両対数グラフ ( [1] [2] [3] ) が直線になるような分布がベキ分布です。

さらに、ベキ分布の累積分布関数を考えると、 つまり \(\small P(X\leq x)=F(x)\) とおくと \[\small F(x)=\int_{b}^{x}f(t)\,dt=1-\frac{b^a}{x^a}\] となるので、\(\small P(X\geq x)=1-P(X\leq x)\) であることから、 \(\small X\geq x\) となる確率も \[\small P(X\geq x)=\frac{b^a}{x^a}\] となりべき乗関数で表されます。この関数は「相補累積分布関数」と呼ばれます。 この関数の両対数グラフも右下がりの直線になります。 最初に紹介した例では、(6)(7)が相補累積分布関数です。

ベキ分布の大きな特徴として「自己相似性」があります。 \(\small x\) を \(\small c~(c\gt 0)\) 倍すると、 \[\small f(cx)=\frac1{c^{a+1}}f(x)\propto f(x)\] となり、もとの関数と比例します。 横軸を \(\small c\) 倍すると、 縦軸は \(\small 1/c^{a+1}\) 倍になります。 グラフでいうと、縦軸である \(\small y\) 軸を \(\small c^{a+1}\) 倍すると もとのグラフと重なってしまうことになります。 このような性質を持つ関数は \(\small Cx^{\gamma}\) の形のベキ関数しか存在しません[参照]。


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■「ベキ分布」のグラフ
下図は、簡単のため \(\small b=1\) として \(\small f(x)=a/x^{a+1}~(x\geq 1)\) のグラフを描画したものです。 参考までに、標準正規分布 N(0,1) を右側に1だけ平行移動したグラフ N(1,1) も描画しています。減衰の仕方が、指数関数で表される正規分布よりも遅いことが分かります。 つまり、指数関数のように急激に減少することなく、 「ダラダラと」どこまでも減少し続けていくのがベキ分布です。 つまり、正規分布と違い、大きな値の発生確率を無視できないのです。 このことは、ベキ分布に従う乱数を発生させると、 時折とんでもなく大きな値が発生することに繋がります。 このグラフは、 数式処理ソフト「Maxima」で利用されている グラフ描画ソフト「gnuplot」によるものです。

下図は、\(\small a=1,2,3\) の場合を両対数グラフで描画したものです。 右下がりの直線になっています。


★\(\small P(X\geq x)=b^a/x^a\) の場合も、 ベキ指数が1つずれるだけなので上記の2つのグラフと同様のグラフになります。 最初に具体例としてリストアップした様々な場面では、 確率密度関数やヒストグラムを両対数グラフで表している場合と、 \(\small P(X\geq x)\) (相補累積分布関数といいます)のグラフを 表している場合とが混在しているので留意して下さい。

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■「ベキ分布」にしたがう乱数の標本平均の分布
ある変量がベキ分布に従っていたとすると、 具体的にはどのような分布になるのかを ベキ分布に従う乱数を利用してシミュレートしてみましょう。 簡単のため、\(\small a=1, b=1\) の場合を考えて、 確率密度関数が \[\small f(x)=\frac1{x^{2}}\quad (x\geq 1)\] の場合を考えてみます。 この場合は、平均も分散も存在しません。 たとえば,平均は \[\small \int_{1}^{\infty}xf(x)\,dx =\int_{1}^{\infty}\frac1{x}\,dx =\infty\] となり無限大になります。 平均が存在しないので分散も存在しません。

さて、 数式処理ソフト「Maxima」を利用すると、 いろいろな確率分布にしたがう乱数を発生させることができます。 その機能を利用して、べき分布に従う乱数を発生させて10個の標本平均を求めてみます。 下図は、10個の標本平均を1万回求めてグラフ表示したものです。 横軸は何回目に求めた値であるかを、 縦軸はそのときの標本平均の値です。 標本平均を求めるたびに、10個平均の値が大きく変動しているのが分かります。 標本平均が1000を超える場合が何度も出ています。 何しろ、確率分布としての平均も分散も存在しないのです。 具体的にどのような値になっているかをみると、 たとえば標本平均が \(\small 1253.14\) のときの個々の値は \[\small 1, 2, 12503, 2, 1, 3, 1, 10, 1, 2\] という値でした。整数部分のみを示しています。 大部分は小さな数の中に、5桁の数 \(\small 12503\) が1個含まれていたために 標本平均が1000を超えたことが分かります。 このように、ベキ分布では値がダラダラと減少していくので、 大きな値の発生確率を正規分布のように無視することができません。 試行回数が増えていくと、時折とんでもなく大きな値が発生することがあるのです。 なお、このときの標準偏差は \(\small 3750\) です。
また、このグラフから特定の範囲を切り出して縦横のスケールを変えて表示すると、 全く同じようなグラフになることも分かると思います。「自己相似性」があるのです。

下図は、この標本平均の値の隣どおしの差の絶対値を求めたものです。つまり、 \(\small k\) 回目に求めた10個の平均を \(\small M(k)\) とすると、 \(\small |M(k+1)-M(k)|\) の値の変化です。 値が大きすぎるので、縦軸は対数軸にしました。 激しく振動しているのが分かります。 なお、上段のグラフとは異なる乱数によるものです。

しかしながら、 この隣どおしの差の絶対値の値から0.2刻みの度数分布を求めて、 そのヒストグラムを折れ線グラフで描画するとベキ分布の形状が現れてきます。 下段は、両対数グラフにしたものです。途中からは直線状になり、 変動の絶対値がある程度以上大きい部分はベキ分布に従っていることが分かります。 つまり、メチャクチャに変動しているように見えても、 その変動はベキ分布という一定の確率分布に従って変動しているという ことになります。


■「ベキ分布」に関する数学的な解説
ここでは、フリーの数式処理ソフト「Maxima」を用いたシミュレーションを交えながら、 ベキ分布の「平均と分散」「自己相似性」「\(\small 80:20\) の法則」 「ジップの法則」「分布の相似性」「平均の分布」などについて詳しく 解説されています。統計処理ソフト「R」を利用した解説は 「こちら」を参照してください。
下記は,主要な特徴を取りまとめて発表したものです.

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「ベキ分布」の解説
ここでは,ベキ分布(パレート分布)について、 一般向けに解説しているサイトをとりまとめました.
Wikipedia:パレート分布
Wikipediaの記事です.累積分布関数,歪度,尖度,モーメント母関数など, この分布に関する統計的な値がまとめて掲載されています.
ベキ乗則
Hatena Keywordの記事です.ベキ乗則について、 相転移、ネットワーク、スケールフリーなどについて解説されています。
パレート分布
この分布の「いわれ」が解説され、平均と分散が具体的に計算されています.
べき乗分布
分布の最小値と最大値が与えられている場合について, その平均と分散が計算されています.
べき分布と正規分布
ベキ分布の仕組みについて,正規分布と対比させながら分かりやすく解説されています.
べき分布(べき乗則)
正規分布と対比させながら, ベキ分布が持ついろいろな特徴についてまとめられています.
なじみの正規分布に落とし穴、 ときには「ブラック・スワン」の概念で捉えることも必要
過去に例のない事象が社会に大きな衝撃を与える現象は、 「ブラック・スワン」と呼ばれます。 「ベキ分布」を扱っている「ブラック・スワン」の考え方について 紹介されています。

ビッグデータも自然現象の法則から逃れられないという一つの発見
「べき乗則」が、 社会や自然のいろいろな場面に現れていることが紹介されています。
ランキングデータの法則性
いろいろなランキングデータがべき乗則に従っていること (これが「ジップの法則」です)を紹介した上で, その両対数グラフが直線になること, そして直線の傾きの意味について解説されています.
パレートの法則とロングテールの法則
ベキ分布をもとに見いだされた「パレートの法則」と、 この分布の特徴である「ロングテール」について解説されています.
運動の基本原則〜上達度の法則『べき乗則』〜
「べき乗則」がどのようなものかを説明したあとで、 いろいろな学習の上達度もべき乗則に従うことが述べられています。
べき乗則の可能性
個人ブログです。 ネットワークの次数分布がベキ分布となるBAモデルを考案した アルバート・ラズロ・バラバシによる著書「バースト」の内容が、 抜粋して紹介されています。
べき乗則・パレート分布・ジップの法則
表題の英文タイトルでまとめられている 論文(2005)の内容がスライドで紹介されています.

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「ベキ分布」の具体例
ここでは、「ベキ分布」や「ベキ乗則」の実例について、 一般向けにまとめているWebサイトを取りまとめました。
水滴・油滴にみるべき乗則
物を破壊したとき、その破片の大きさと個数との関係はベキ分布に したがうことが知られています。 油滴の大きさと滴数の関係に、 そのことが成り立つかどうかが実験的に調べられています。
大学間格差はべき乗則にしたがう
国立大学の運営交付金や競争的資金の配分がべき乗則にしたがっていることが 紹介されています。
大学の研究費配分におけるネットワーク的考察
科研費の取得件数と大学数のヒストグラムがベキ分布に従っているのに対して、 アメリカの公的資金はベキ分布にはなっていないようです。 そのことから、公的資金の配分方法に関する日米の違いについて考察されています。
流入キーワードもベキ分布だった!
Webサイトの検索エンジン経由の流入キーワード別のアクセス数が ベキ分布に従っていることが示されています。
「はてなブックマーク」はべき乗則にしたがっているのか調べてみた
「はてなブックマーク」と記事の数の関係について、 べき乗則に従っているかどうかが調べられています。
ジップの法則 検証
個人ブログです。 ジップの法則が成り立っている例として、 AKB総選挙、東証上場株価、地震の規模、オリンピックでの国別メダル獲得数、 国体での県別総合得点、県別総所得、県別の人口、県別の鉄道駅の数などが 紹介されています。
TeX言語でもZipfの法則は成り立つか?
ジップの法則は頻度と順位の関係がべき乗則に従っているというものですが、 そのことがTeXのコマンドについて成り立つかどうかが調べられています。
天文の軌道に関する"べき乗則"について
太陽の惑星の軌道長半径と惑星番号、 あるいは木星や土星の衛星の軌道長半径と衛星番号の間に 「べき乗則」が成り立っていることが報告されています。 (ここは「ベキ分布」ではありません。)

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「ベキ分布」と自然現象
ここでは、自然現象の中に見られる「ベキ分布」を解説している、 ある程度専門的な解説や論文を取りまとめました。
高軌道傾斜角メインベルト小惑星を対称とする広域サーベイ観測
火星と木星の間の領域にある小惑星帯について、 小惑星の直径と累積個数がベキ分布にしたがっていることが示されています。
クレータサイズ頻度分布からさぐる月惑星表面の地質進化
日本惑星科学会誌に掲載されたものです(2015年)。 月のクレーターの直径(D)と、そのサイズのクレーターの数密度の累積頻度分布 N(\(\small \geq D\))の関係がベキ分布にしたがっていることが示されています。 クレーターは時間とともに増加するが経年変化で消滅するものもあり、 あるレベルに達すると平衡状態になってクレーターの数密度が増加しなくなるようです。 地質の年代とクレーターのサイズ、ならびにベキ指数の関係について述べられています。
地震現象の新しい見方
「地震」に掲載されたものです(1991年)。 カオスやフラクタルなど複雑現象に関して明らかになってきたことをもとに、 地震を「全体の複雑さ=部分の複雑さ」であるフラクタルな現象として、 自己組織化臨界現象とみる見方について解説されています。 この1990年初頭に判明していること全般に渡る解説がされているので、 相転移・臨界現象を含む複雑系の全体像を把握するとき有益と思います。
火山に関するサイズの話
神戸大のサイエンスセミナーでの講演記録です(2007年)。 火山での噴出物や噴火の規模などがベキ分布に従うことが解説されています。
火山爆発指数(VEI)から見た噴火の規則性
「火山」に掲載されたものです(2015年)。 地震の規模と頻度はベキ乗則に従っていることは グーテンベルグ・リヒター則として知られていますが、 火山の噴火の規模と頻度においても同様のベキ乗則が見られるようです。 個々の火山のみならず、火山地域や火山弧においても同様のベキ乗則が 見られることが示されています。
衝撃破壊の統計則
東北大学の先生のサイトです。 破壊現象にベキ分布が現れることについて解説されています。 あるモデルによるシミュレーションで、 ベキ指数 \(\small 2/3\) が得られたことが述べられています。
乾燥地帯でのスケーリング則
Natureに掲載された2つの記事( ) の紹介です(2007年)。 アフリカのカラハリ砂漠や地中海性乾燥地帯での高解像度の衛星画像をもとに、 森林クラスターや植物群落の植生パターンを調べた結果が報告されており、 植生クラスターのサイズと、 そのサイズを持つクラスターの個数頻度はベキ分布にしたがっていることが 述べられています。

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「ベキ分布」と生物現象
ここでは、生物界の現象の中に見られる「ベキ分布」を解説している 専門的な論文を取りまとめました。
島の生物地理学とZipfの法則
島に住む種の数(S)は、島の面積(A)のべき乗に比例する関係 \(\small S\propto A^z\)にあるようです。 また、固体の数(x)と個体数x以上の種数の頻度P(\(\small \gt x\))の 関係はベキ乗の関係にありP(\(\small \gt x)\propto x^{-\alpha}\) が 成り立っているようであり、ベキ指数であるzと\(\small \alpha\)の関係が 示されています。この島と種の概念を、 たとえば1冊の本の単語の総数と単語の種類の関係に読み替えることで、 いろいろな場面で適用可能であることが述べられます。
以上のもとで、\(\small y=\ln(S+1), \mu=\ln A, \gamma=(1-\alpha)/\alpha\)と おくと \[\small z=\frac{dy}{d\mu}=\frac{e^{\gamma y}-1}{(1+\gamma)e^{\gamma y}-1}\] \[\small a=\frac{dz}{d\mu}=\frac{\gamma^2e^{\gamma y}} {\left\{(1+\gamma)e^{\gamma y}-1\right\}^2}\] が示され、\(\small a\)は\(\small \alpha\approx 1\)のときに最大になるので、 対数種数(y)の加速度が最大になるようなメカニズムが働いたときに ジップの法則が成り立つことが示されています。
生物代謝のスケールアップ:個体から生態系へ
日本生態学会誌に掲載されたものです(2013年)。 微生物から大型動物まで、生物の体サイズと代謝速度の間には 3/4乗のベキ乗則の関係があることが知られています。 そのメカニズムについて検討されています。
遺伝子発現の確率性:ばらつきの特徴・背景・機能との関係
植物科学最前線に掲載されたものです(2019年)。 遺伝子発現量のばらつき方にはいろいろなタイプがあり、 正規分布、二項分布、ベキ分布にしたがう場合があるようです。 遺伝子の発現制御にフィードバック効果の影響が見られないときは正規分布に、 フィードバック効果の影響を強く受けているときはベキ分布にしたがうことが 示唆されることから、発現量の分布の仕方をみることで 発現制御の様相を推測できるのではないか、ということが述べられています。
生物現象とネットワーク
ここでは、 生物現象をネットワークとして捉えた場合のWebサイトや論文が まとめられています。

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「ベキ分布」と社会現象
ここでは、社会現象や人間の行動の中に見られる「ベキ分布」を解説している Webサイトや論文を取りまとめました。
日本国内の性接触ネットワークにはスケールフリー性が存在する
国際保健学の研究として、 インターネット調査で日本在住の男女それぞれ2,500人(計5,000人)から 「人生でこれまでの累計の性接触人数」と「直近三か月間の累計の性接触人数」 について調査したところ、 どちらも性別によらずスケールフリー性を持つことが判明したようです。 このことはヨーロッパでの調査では知られていましたが、 アジア圏でも同様であることが示されたようです。
サッカーの司令塔が試合中に最もパスに絡んでいることを科学的に証明
サッカー選手を点として選手間のパスを枝とみることにより、 サッカーの試合を一つのネットワークと見なして検討すると、 そこにベキ分布が現れることが示されています(2012年)。
マクロレベルにおける戦争の動態
戦争・紛争における戦死者の数と戦争の頻度もベキ分布にしたがっています。 そのことを実際のデータで確認した上で、 そのデータを子細に検討することにより、 「多様性の中の法則性」と「法則性の中の多様性」という視点を浮かび上がらせ、 幾つかの仮定のもとにモデル化してシミュレーション結果が検討されています(2010年)。
都市の規模や勢力の分布に関する考察及びべき指数を用いた 都市圏集積度分析手法の提案
ジップの法則について説明された後で、 都市の規模や勢力がベキ法則に従うことから、 そのべき指数を用いて都市群の集積度を把握するための分析手法に ついて提案されています。
書籍販売市場における隠れた法則性
情報処理学会論文誌に掲載されたものです(2007年)。 日本全国の書籍販売の実データをもとに、いろいろな分野の書籍の 販売冊数と順位の関係がベキ乗則(ここでは、ジップの法則) に従っていることが示されています。
べき乗則を導く確率モデルと映画の統計データへの適用
商品が売れていく様子を単純化した確率過程が提案され、 定常なベキ分布が導かれることが紹介されています。 さらに、提案したモデルが実際の分布をよく説明することが、 アメリカの映画の興行収入のデータを用いて検証されています。
大規模データに対するベキ分布性の確認方法
大阪産業大学経営論集に掲載されたものです(2010年)。 大規模データがベキ分布とどの程度近いかを定量化する方法を用いて、 企業の共同出願相手数の確率分布(離散)が ベキ分布といえるかどうかについて検討されています。
人口分布の数量分析
創価経済論集に掲載されたものです(2017年)。 都市の人口と順位が両対数グラフでは傾き\(\small -1\)の直線になること、 つまりジップの法則にしたがっていることが 確率過程の観点から検討されています。
情報端末による日本語入力の語彙の偏りに関する研究
電気通信普及財団研究調査助成報告書(No.32)に掲載されたものです(2017年)。 LINEで予測変換を機能させて会話したとき、 予測変換を機能させないで会話したとき、 そしてLINEを使用せずに直接会話(筆談)したときの3つの場合において、 実際に使用された単語と「!」のような記号の出現頻度と順位を調べて、 いずれの場合もジップの法則に従っていることが報告されています。 会話時間は、いずれも15分です。
統計的法則と指標
同志社大学での統計テキストとしての内容です。 ジップの法則に説明と具体例が述べられた後で、 テキスト分析の指標として語彙の豊富さを表す指標について解説されています。
言語データに内在する大域的性質について
言語に内在する数理的な普遍性や不変性をもつものとして、 言語のエントロピーや長相関について解説されています。
ジップの順位規模の加分解性について
ジップの法則の定式化、成立機構、適用可能性、そして特性について まとめられています。

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「ベキ分布」と経済現象
ここでは,「ベキ分布」と経済現象との関わりを解説しているサイトを とりまとめました.
理論と現実の誤差について考える〜正規分布とべき分布〜
初期の金融工学では正規分布を前提とした仕組みで考えていたことにより、 めったにしか起きない金融大変動に対応できなかったことが述べられています(2014年)。
金融工学の嘘とホント(第2回)
株価の変動について、正規分布を仮定した場合と、ベキ分布を仮定した場合について、 それぞれの投資シミュレーションの結果が紹介されています(2012年)。
所得格差と株価の不都合な真実
「The Captital Tribune Japan」の記事です(2012年)。 所得の分布がベキ分布になっていることが、異なる年度で比較されています。
日本の高額納税額のベキ乗則について
「理論と方法」に掲載されたものです(2001年)。 高額納税者の納税額と順位の間にべき乗則が成り立っていることが示されています。
相場の変動は正規分布と異なる
日経平均株価の変動をフーリエ解析すると、 「1/f揺らぎ」で変動していることが示されています(2008年)。
為替市場の謎
週刊「ダイヤモンド」に掲載された記事です(2009年)。 東京工大の高安美佐子氏により、 為替市場の価格決定メカニズムについて、 統計物理学の手法で明らかにされてきたことが紹介されています。
経済物理学の発見
高安秀樹氏の「経済物理学の発見」から, 13年間にわたる1分刻みの円ドル為替レートの変位がベキ分布に 従っていることが抜粋されています.
経済バブルの数理モデル
数理科学に掲載されたものです(2019)。 1986〜2015年に首都圏で取引された中古マンションの売買データ(約100万件)の データをもとに価格と物件数の関係をみると、 ベキ分布に従っていることが示されています。
経済物理学最前線:実務とアカデミーの接点
経済物理学の創始者ともいうべき高安秀樹氏の講演です。
メディアミックスにおけるPower Law
ベキ分布に現れるロングテール部分を分析して得られた、 マーケティングに関する一つの知見が報告されています(2009年)。
「情報社会学序説」にみる市場社会の「べき分布」
公文俊平氏による「情報社会学序説」の論旨が紹介されています(2005年)。 いろいろなことが「ベキ分布」にしたがっていることを、 これからの情報社会はどのように受け止めるべきかについて 論じられているようです。

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経済現象における分布
行動計量学に掲載されたものです(1975年)。 全世帯収入は必ずしもベキ分布にしたがっていないが、 企業の資産規模や従業員規模の分布にはよく当てはまることを述べた上で、 階層間の移動が一定であるとするとベキ分布が現れてくることが紹介されています。
企業資産・所得におけるジップの法則
成蹊大学工学研究報告に掲載されたものです(2004年)。 実際の企業データをもとに各業種における企業資産について ジップの法則が成り立っていることを確認した上で、 自己組織化の視点を取り入れたJAVAによるシミュレーションを行い、 ジップの法則が再現されることが確かめられています。
分布関数による経済メカニズムの解明
横断型基幹科学技術研究団体連合の会誌「 横幹」に掲載されたものです(2013年)。 金融市場、不動産市場、家電オンライン市場、小売市場などの 様々な市場で共通してベキ分布が観測されることが紹介され、 そのようなベキ分布が現れるメカニズムについて検討されています。
企業所得成長モデルと投資戦略
TOPIX(東証株価指数)の価格変動についてフラクタル性があることが 丁寧に解説されています(2006年)。 物質系でベキ分布が見られるのは相転移のおきる臨界点付近であることから、 経済現象でベキ分布が現れるのは需要と供給の均衡点付近として理解できることが 述べられ、いろいろな変動を説明するモデルとして 幾つかの確率差分方程式が紹介されています。
ネットワーク分析の紹介:連鎖倒産リスク検知への応用可能性
日本銀行仙台副支店長により、企業間取引が生み出す信用ネットワークから、 連鎖倒産の確率推定モデルが提示されています。
日本の地価変動メカニズムに関する経済物理学的研究
地価のバブルの発生メカニズムに関する調査研究で、 高価格帯の地価分布がおどろくほど「ベキ分布」で近似できることが報告されています。

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「ベキ分布」とネットワーク
ここでは、「ベキ分布」がネットワークの分析で現れることを解説した Webサイトや論文を取りまとめました。
ネットワーク科学
アルバート・ラズロ・バラバシ著による 2019年2月に翻訳出版されたネットワーク科学の決定版的な教科書(496頁)です。
友達の友達はみな友達だー複雑ネットワーク科学
「生産研究」に掲載されたものです(2016年)。 「複雑ネットワーク」についての講演をまとめたものです。 ネットワークの基本事項について解説されています。
複雑科学とネットワーク〜つながり方の科学〜
NII市民講座で話された内容です(2007年)。 ネットワークの概要、いろいろな分野のことがネットワークとして捉えうること、 その特徴を表す指標、そのモデル化などについて解説されています。
ネットワーク解析入門
統計数理研究所の「数学協働プログラム」での講演です(2016年)。 「複雑ネットワーク」について、スライドで詳しく解説されています。
複雑ネットワーク:統計物理学の視点
物性研究に掲載された講義ノートです(2013年)。 統計物理学の視点からの複雑ネットワークについて簡潔にまとめられています。
複雑ネットワークの物理
第51回物性若手夏の学校での講演です(2006年)。 物理の若手研究者を対象に、複雑ネットワークの特徴と概観が述べられた後で、 幾つかのモデルについて詳しく解説されています。
「スモールワールド」ネットワークの集合的ダイナミクス
「スモールワールド」を提唱したワッツ・ストロガッツ論文の 前提となる知識の解説を含めながら、この論文を抄読した結果が詳細に 報告されています。
スケールフリー・ネットワークの提唱
アルバート・ラズロ・バラバシ著「新ネットワーク思考ー世界のしくみを読み解く」 の抄読を一人で行って、その概要がかなり詳しく報告されています。 ネットワークにおいて「ベキ分布」がどのような形で現れてくるのか、 なぜ「ベキ分布」になるのかの概要を把握することができると思われます。

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Barabasi-Albert Model
ネットワーク上でべき分布を生成するモデルとして提案された バラバシ・アルバートモデル(BAモデル)について 簡潔にまとめられています。
ネットワークの構造
ネットワークの次数の分布がベキ分布になることや、ベキ分布の特徴などについて スライドで解説されています。
複雑ネットワーク入門
複雑ネットワークについて、77枚のスライドで丁寧に解説されています。
変遷を続けるネットワーク系の頑健性について
ちょっと専門性が高いですが、 現実の系はなぜ複雑な構造を維持・成長できるのかについて、 複雑ネットワークの最新(2018.12)の結果に基づいてスライドで解説されています。
複雑ネットワーク:構造と機能からの分析
「ネットワーク」に関してある程度の知識があることを前提とします。 複雑ネットワークについて、 いろいろな統計的指標、幾つかの再現モデル、新たなマクロ的指標、 可視化による分類、機能からの構造分析、マクロ構造とミクロ構造などについて 内容豊富な72枚のスライドで解説されています。
複雑ネットワーク生成と統計力学
複雑ネットワークについて、24枚のスライドで丁寧に解説されています(2006年)。
複雑さに対処するためのコンピュータ科学とネットワーク科学
後半の方でネットワーク科学について解説されています。 ネットワークのいろいろな指標や、スモールワールド・ネットワーク、 スケールフリー・ネットワークに関する解説があります。
ネットワーク科学におけるフラクタル分析
「ネットワーク」に関する基本用語をある程度理解した上で読むと、 ネットワークがどのようなもので、何で特徴づけられ、何が問題であるのか等 の全体像について簡潔にまとめられています。
複雑ネットワークの統計力学
複雑ネットワークについて、数学的な側面のことがまとめられています(2003年)。
べき指数を用いたインターネットバックボーンのネットワーク構造分析
IIJのバックボーン回線について、その年ごとの発展過程が検討されており、 回線総容量と順位の関係がどの年度も両対数グラフで同じような傾きの ベキ分布になっていることが示されています(2003年)。
スモールワールドとチャンス発見
人口知能学会論文誌に掲載されたものです。 スモールワールドというグラフ構造について詳しく解説されています(2003年)。
複雑ネットワークと感染症モデル
ネットワーク上の感染流行モデルについて微分方程式でモデル化しながら 解析されています(2012年)。
論文の引用・共著関係から何が分かるか
電子情報通信学会の信学技法に掲載されたものです。 論文の引用関係や共著関係をネットワークとしてとらえる事により、 次数の分布がべき乗則にしたがっていることが示されています。
空間上のネットワーク設計法ー自己組織化の四本柱を中心にー
第11回ネットワーク生態学シンポジウムでの講演PPTです(2014年)。 「優先的選択」「リンクの淘汰」「再帰的分割」「部分コピー」という、 空間上のネットワーク自己組織化の四本柱を中心に解説されています。
次数相関を持つ複雑ネットワークにおける浸透問題
コンピュータソフトウェアに掲載されたものです(2011年)。 ネットワークのノード間の次数相関を考慮した場合に、 様々なタイプのノード除去についてネットワーク上の巨大連結成分が どのように崩壊していくかについて検討され、 スケールフリーネットワークにおける選択的ノード除去の脆弱性を 改善できる可能性が示唆されています。
関係を読み解く手段としてのネットワークの構造解析
ソフトウェアに掲載されたものです(2007年)。 相互に関係のある複数の要素からシステムを ネットワークとしてとらえて構造を解析すると、 個々の分野に限定されない普遍的な性質が見いだせることから、 その時点で分かっていることを概説して、 それを利用した幾つかの問題解決の例が紹介されています。
新ネットワーク理論の可能性を語る
国際大学グルーバル・コミュニケーション・センターの機関誌「智場(ちじょう)」に 掲載された公文俊平氏と丸田一氏による対談が公開されています(2003年)。
ネットワークが創発する知能
コンピュータソフトウェアに掲載された2007年の対談です。 ネットワーク、自己組織化(創発)、スケールフリー、スモールワールド、 相互作用など、この分野の問題点を俯瞰的に理解するとき参考になると 思われます(2006年)。

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複雑ネットワーク概説ー生態学への応用を見据えて
日本生態学会誌に掲載されたものです(2006年)。 複雑ネットワークについて概説や 食物網や伝搬過程の例が紹介された後で、 生態学への応用の可能性について議論されています。
生物情報ネットワークの構造解析
生物系におけるネットワーク理解の概要についてスライド(PPT)で解説されています。 スモールワールド、スケールフリーネットワーク、優先的選択型成長モデル、 階層的ネットワークなどの解説があります。
生体内ネットワーク構造の数理モデルと情報解析
生物物理に掲載されたものです(2007年)。 生物をシステムとして理解する上でネットワークとしてのとらえ方について 解説した上で、タンパク質相互作用ネットワークのモデルが提案され、 実際のデータベースとも当てはまっていることを確認しています。
生体分子ネットワークのトポロジー解析
物性研究に掲載されたものです(2006年)。 遺伝子やタンパク質などの相互作用をネットワークとして捉えると、 そのネットワークの次数分布がべき則にしたがっていること、 次数分布ばかりではなく 流量や発現量も同様の傾向を示していることが報告されています。
神経回路網における"小さな世界"の意味
日本神経回路学会誌に掲載されたものです(2007年)。 いわゆる「スモールワールド」の特徴が、神経細胞の細胞間の相互作用、 あるいは脳の領野間の相互作用のどちらの階層でも見られるようです。
ネットワーク構造がもたらすロバストナ臨界性
日本神経回路学会誌に掲載されたものです(2014年)。 スモールワールド性を持つネットワークに見られる臨界相について考察されています。
脳と情報ネットワークの横断的研究
日本神経回路学会誌に掲載されたものです(2014年)。 脳機能のネットワークが、グラフ理論解析を中心に解説されています。
代謝ネットワークはスケールフリーかつモジュール性を持つ 階層的ネットワーク
生物における代謝ネットワークについての、 バラバシも著者に入っている論文を抄読した結果が詳しくまとめられています。
細胞内代謝パスウェイはスケールフリー・ネットワークである
43種類の生物の細胞内代謝ネットワークを、 酵素反応の基質を頂点、反応を枝としたネットワークを分析すると、 生物種によらずスケールフリー・ネットワークの特徴を示したこと、 代謝ネットワークの平均距離は生物種によらずほぼ一定であることを 報告した論文の内容が紹介されています。

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「ベキ分布」のメカニズム
ここでは、 ベキ分布のメカニズムについて考察や解説をしているサイトを取りまとめました。
べき分布のメカニズム
ベキ分布がどのような場合に現れるかについて、 ネットワークでのリンクの仕方をもとに解説されており、 ランダムにリンクしていく場合と、 リンク数の多いところにリンクしていく場合との違いについて Flashで見ることができます。 ベキ分布は後者の場合に現れます。
Barabasi-Albertモデルからベキ指数を導出
ネットワークの次数分布がベキ分布になることをモデル化した バラバシ・アルバートモデル(BAモデル)について数学的な側面が解説されています。 点(ノード)が、リンクが多い点と優先的にリンクさせながら増えていくと、 次数分布がベキ分布になっていくようです。
ノード順位による選択を用いたスケールフリー・ネットワークモデル
ソフトウェアに掲載されたものです(2007年)。 ネットワークの次数分布がスケールフリーになるモデルとしてBAモデルが有名ですが、 ここでは点を増やすことなくある規則に基づいてリンクを張っていくと、 次数分布がベキ分布になるモデルが提案され、他のモデルとの比較がなされています。
連続確率変数を用いたエントロピー最大化による ベキ乗則の成立条件
「経営志林」に掲載されたものです(2006年)。 連続確率変数がベキ乗則を生成するための条件について、 その時点までに提案されている幾つかのモデルが 紹介された後で、エントロピー最大化の観点から検討されています。
砂山や砂丘形成における「べき乗則」の出現
卒業論文としての内容です(2016年)。 砂粒を落とし続けていくと自然に砂山が形成され、 傾斜がきつくなると雪崩が発生しますが、 コンピュータシミュレーションにより 雪崩の大きさと頻度がベキ分布にしたがうことが、 いろいろな場合に確かめられています。
生態学のスケーリング理論ークライバーの法則とフラクタル成長ー
日本生態学会誌に掲載されたものです(2013年)。 固体の呼吸速度や光合成速度などの代謝速度と体サイズとの関係は ベキ乗則にしたがっていることが多数の例で示されています。 特に、多数の動物で固体の呼吸速度が体重の3/4乗に比例するようで クライバーの法則と呼ばれています。 固体が自己相似性を保つような成長をすること、 固体内部の水分等の資源輸送ネットワークにフラクタル性があることなどを 仮定して、理論的な考察がなされています。
何故、高額所得のランキングはベキ乗を示すのか
日本応用数理学会年会で発表されたものです(2002年)。 高額所得のランキングがべき乗を示す簡単がモデルが提案され、 そのモデルがべき乗を示すのはフラクタル性によるものであり、 競争メカニズムに入れ子構造が形成されることによることが示されています。
企業の所得分布のジップ則
卒業研究としての内容です。 企業間取り引きに一定の条件をつけてシミュレートすると、 取引回数が多くなるほど企業資産がジップの法則に近づいていくことが 示されています(2001年)。
株価モデルとその理論的解析
物性研究に掲載されたものです(1997年)。 平均株価の価格変動がベキ分布にしたがうことが分かっていますが、 そのことをモデル化して、ベキ分布が現れるメカニズムについて検討されています。
企業所得分布におけるPower-Law発生メカニズム
物性研究に掲載されたものです(2004年)。 実際の膨大な企業データーを用いた解析が行われています。 所得分布のべき指数が30年前と現在で変わらないようであり、 経済現象は「自己変調プロセス」になっているようです。 所得の時間発展に乗算ノイズを持つ離散ランジュバン方程式を仮定することで 所得分布がベキ分布になることが示されています。
企業間取引ネットワークの生成メカニズムを解明
東工大での研究成果広報としての内容です。 日本企業約100万社の取引ネットワークの生成メカニズムを分析して、 企業ネットワークの成長には、企業の新規参入や倒産の他に、 合併や買収などの凝集効果が重要な役割を担っていることや、数理モデルで スケールフリー性を持つ定常状態に自動的に収束することの証明が なされたようです。
拡散律速擬集
静止している1個の粒子Aに、Aの回りでブラウン運動をしている粒子がぶつかると Aにくっついて静止するとします。 拡散律速擬集(Diffusion-limited aggregation, DLA)と呼ばれます。 これを繰り返してくと最初の粒子Aに次々に粒子がくっついて、 ある種の形状が形作られます。単にランダムにくっついていくだけなのに そこには自己相似形をなすフラクタル図形が形成され、 枝の大きさとその大きさの枝の数はベキ分布にしたがっています。 下記も参照してください。
  • DLAってアートみたいだよね。
    DLAのコンピュータシミュレーションのアルゴリズムについて、 順を追って解説されています。
  • 夜景のマルチフラクタル構造
    初期値を、点ではなく直線にした場合の図がシミュレートされています。 また、夜間の大都市を衛星から見た場合の光強度を分析すると、 拡散律速擬集で生じる図形と類似図形が得られることがPythonプログラムで 示されています。 なお、読み込むのにちょっと時間がかかるようです。
  • Processing で DLA 風の画像を作成
    DLAは、通常はブラウン運動ですが、プログラミング言語「Processing」を利用して、 ランダム運動の場合や、特定の条件をつけた場合などが シミュレートされています。
  • 拡散現象とDLAパターン
    この現象の初歩部分について、確率計算をともないながら解説されています。
  • 拡散律速擬集現象
    大学生の卒業論文として、 この現象で生成される図形のハウスドルフ次元が計算されています。
  • 生物物理とフラクタル
    「非可逆過程のパターン形成」の節で、拡散律速凝集に触れられています。
  • DLAとそれに関連した現象
    物性研究に掲載されたものです(1987年)。この現象について詳述されています(45頁)。
Tsallis統計
「ベキ分布」を個々の現象にとらわれないで扱うための数理として 「Tsallis統計」があります。 それは、いろいろな場面で現れる指数関数が線形微分方程式 \(\small y'=y\) の 解であることから、非線形微分方程式 \(\small y'=y^q\) の解を用いて 考えようとするものです。この解から、指数関数 \(\small \exp{x}\) や 対数関数 \(\small \ln{x}\) の拡張として \(\small q\)-指数関数, \(\small q\)-対数関数が定義され, \(\small q=1\) のときは通常の関数と一致します。 さらに \(\small q\)-積なるものを考えると、 通常の指数関数や対数関数と同様の性質を持つことが示されます。 詳しくは、下記を参照してください。

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相転移・臨界現象
ベキ分布やベキ乗則は、気体が液体になったりするなど、 物質の様相が劇的に変わってしまう相転移の境界付近でも現れてきます。ここでは、 その相転移や境界付近でおきる臨界現象について解説している Webサイトや論文を取りまとめました。
  • この現象と数学との関わりについては、数学学習リンク集の 「確率論と数理物理学」の 「4.臨界現象へ」が分かりやすいかもしれません。
  • 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「確率統計」 「複雑系」 「物理系」を参照してください。
食品の物性と水
日本食品科学工学誌に掲載されたものです(2015年). 水に直径10〜1000nmの粒子が分散しているハイドロコロイドが、 流動性や粘性をもつゾルの状態や、高分子が絡み合って弾性を持つゲルの 状態に相転移する現象について詳述されています。 相転移の近傍では、ゾルの粘度やゲルの弾性率が濃度差のべき乗に 比例する関係があるようです。
ゲル化理論の新しい理論
熱硬化性樹脂に掲載されたものです(1982年). 高分子鎖のゲル化過程を、 パーコレーション理論をもとに臨界現象として捉え直す動きがあること、 その背景・概要・臨界指数について、その時点での現状が紹介されています。
高分子鎖のゆらぎ
高分子に掲載されたものです(1982年). 高分子溶液での臨界現象について、 相関距離をキーワードにして解説されています。
相転移
「Netsu Sokutei」に掲載されたものです(2002年). 温度を変えたときに起きる相転移について詳しく解説されています。
液晶の臨界熱異常
「Netsu Sokutei」に掲載されたものです(2005年). 液晶は、その分子のあり方がある温度を境に大きく変化するようです。 その相転移点の近傍でのいろいろな現象について解説されています。
ディラック電子系に潜む普遍性を実証
理化学研究所の研究報告です(2016年)。 大規模なシミュレーションで、 金属から絶縁体への相転移における臨界指数を決定したことが報告されています。
相転移の統計力学
九州大学での講義録です(2019年)。 相転移現象、平均場理論、スケーリング仮説、繰り込み群などについて 専門的な解説がなされています。
密度行列繰り込み群による古典スピン系の臨界現象の解析
神戸大学での学位論文です(2008年)。 専門分野の論文ですが、出だしの20頁程度で臨界現象に関して その時点で既知の内容がまとめられており、 臨界指数の間の関係式(スケーリング則)が導かれています。
臨界現象と繰り込み群
日本大学大学院理工学研究科の講義録です(2019年). 臨界現象の普遍性が繰り込み群の観点から解説されています。 専門的な内容ですが、 第1章を「何となく」眺めれば全体像を把握することができるでしょう。
スケーリング理論とは何か?
科研費特定領域研究の「情報統計力学の深化と展開」のチュートリアル講演会での 講演です(2006年)。 スケーリング理論について解説されています。 そのときのスライドは こちらです。
不可逆過程の非平衡相転移
かなり専門的な内容ですが、きれいなスライドでまとめられています。

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パーコレーション(浸透理論)
ここでは、相転移・臨界現象のモデル化として考案された パーコレーション(浸透理論)について考察や解説をしているサイトを取りまとめました。
  • この現象と数学との関わりについては、数学学習リンク集の 「確率論と数理物理学」の 「4.臨界現象へ」が分かりやすいかもしれません。
  • 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「複雑系」を参照してください。 2006年と2010年のフィールズ賞は、パーコレーションの研究者に与えられています。
確率モデルの世界:パーコレーション
パーコレーションがどのようなものか、簡潔に解説されています。 数学では確率論の問題であり、パーコレーションに関する研究で 2006年と2010年にフィールズ賞が与えられているようです。
パーコレーションと確率変数
遊星社の「パーコレーション(樋口保成著)」の出だしの部分が公開されており、 パーコレーションの問題が 確率論の問題として定式化されるまでの導入部分について解説されています。
パーコレーション解析
熱伝導の立場から、パーコレーションについてわかりやすく解説されています。 「端から端まで繋がるクラスターがある」ことの工学的な意味が把握できます。
浸透理論とイオン伝導
物質中のイオン伝導の立場から、 パーコレーションの概念についてわかりやすく解説されています。
枯れ草菌が臨界現象を使って電気を流す話
枯草菌の細胞集団は、パーコレーションという臨界現象を利用して 効率的に電気的通信するということについて、分かりやすく解説されています。
パーコレーション:浸透の数理
東京大学工学部の増田直紀先生による「情報技術論」のスライドです(2013年)。 パーコレーションの基礎を解説した後で、 ネットワークでスケールフリーとそうではない場合についての感染のしやすさについて 解説されています。
浸透理論への誘い
物理学会誌に掲載されたものです(1979年)。 物理学のいろいろな場面での浸透理論の応用について解説されています。
パーコレーション(浸透)
パーコレーションの同定アルゴリズムや相転移について説明され、 後半でシミュレーションができるようになっています。
水の染め渡り具合をサイコロで調べてみよう
「第18回藤岡おもしろ数学教室」での講演です(2013年)。 当時の日本数学会理事長が、 中学生を対象として「パーコレーション」について解説しています。 なお、群馬県藤岡市は関孝和の出生地です。
Percolation
簡単な場合についてパーコレーションの解説がなされ、 幾つかの格子での浸透閾値の値がまとめられています。また、 \(\small d=3\) のベーテ格子の場合に、 格子点が無限大のクラスターに含まれる確率が計算されています。
パーコレーションの繰り込み群シミュレーション
卒業論文としての内容です。 2次元の正方格子のサイトパーコレーションを用いて、 繰り込み群の操作をコンピューター上で再現して、 臨界確率やフラクタル次元が求められています。
パーコレーションとは
パーコレーションについて、主な格子での臨界指数についてまとめられています。
パーコレーション理論による伝導性複合材の物性発現機構
ニチアス技術時報に掲載されたものです(2002年). 黒鉛等に伝導性粒子を配合した複合材において、伝導性が発現する仕組みについて パーコレーション理論の立場から実験的に考察されています。
ゲル化とゲル構造
高分子に掲載されたものです(1988年). ゾル-ゲル転移に関して、パーコレーションモデルとの関連から解説されており、 ゲルの弾性率の臨界指数が普遍性を持つことが実験的に示されています。
燃焼問題へのパーコレーション理論の応用
日本燃焼学会誌に掲載されたものです(2011年). 噴霧燃焼についてパーコレーション理論の立場から考察されています。
パーコレーション理論を用いた市街地の防災性評価
「オペレーションズ・リサーチ」に掲載されたものです(2002年). 市街地の延焼危険の評価方法としてパーコレーション理論が用いられ、 東京都のデータで解析がなされています。
マグマのガス浸透率解析におけるパーコレーション理論の役割
岩石鉱物科学に掲載されたものです(2006年)。 マグマのガス浸透率をパーコレーション理論を応用することで解析しようとしており、 最初にパーコレーション理論の解説がなされています。
パーコレーションとランダムグラフに関する研究
卒業研究としての内容ですが、 パーコレーション理論の紹介とともに、実生活の中での応用例が紹介されています。
パーコレーション理論とその製剤開発への新展開
製薬会社での講演報告です(2012年)。 製剤開発におけるパーコレーション理論の応用例が解説されています。
パーコレーション理論を応用したコミュニティの情報伝搬モデルの作成
人口知能学会での発表予稿集です(2019年)。 人々の情報の受容と発信を浸透現象として確率的に捉えることにより、 情報の伝搬確率と忘却確率を設定することにより情報伝搬モデルが検討されています。

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複雑系・フラクタル
ここでは、複雑系やフラクタルについて解説している Webサイトや論文を取りまとめました。
  • 数学色の強い解説は「数学学習リンク集」の 「複雑系」や 「物理系」を参照してください。
複雑系早わかり
「複雑系」に関して解説したパンフレットです。 「相互作用」「創発」「ダイナミクス」「自己組織化」 「適応」「学際性」「考察方法」について簡潔に解説されています。
新しいパラダイムとしての複雑現象研究 [1] [2]
[1]ではカオス・フラクタル・複雑現象の分類について、 [2]では相転移・臨界現象・自己組織化・ジップの法則について 解説されています。
フラクタルの話
次々に拡大していっても同じ図形が現れる自己相似性をもつ 「フラクタル図形」について詳しく説明されています。
フラクタル入門
「フラクタル」について、数学部分が詳しく解説されています。
生物物理とフラクタル
「フラクタル」で著名な高安秀樹先生の論文です(1992年)。生物学との関わりについて、 コンパクトにまとめられています。
フラクタルの物理
物性研究に掲載された高安秀樹先生の論文です(1985年)。 フラクタルが言われ始めた頃の総合報告的な内容(95頁)になっています。
フラクタルとは
「フラクタル」に関する総括的なリンク集です。
仮説の森
個人ブログです。「世界は3つのシステムでできている」として、 「自己組織化」「ベキ乗則」「フラクタル」について解説されています。 これらのことについてある程度の知識を得た上で、 順番に読んでいくと良いでしょう。

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自己組織化臨界現象
自然界に現れるフラクタルな現象は、 なぜか相転移の臨界条件の近くに自然に落ち着いていくようです。ここでは、 このような「自己組織化臨界現象」について触れているWebサイトや 論文を取りまとめました。
自己組織化と進化の論理
スチュアート・カウフマンによる同名の書籍についての、 詳細な読書録です。
自己組織化臨界現象と「進化」
北海道大学の経済学研究に掲載されたものです(2000年)。 スチュアート・カウフマンによる自己組織化臨界現象としての捉え方の要点が 解説された後で、「経済システム」分析への応用可能性について考察されています。
砂山くずしのモデル
自己組織化臨界現象の例として有名な「砂山くずしモデル」について解説されています。
自己組織化臨界現象と可換砂山模型
中央大学理工学部の香取眞理先生により28枚のスライドで解説されています。
複雑系解析の目的
名古屋大学での講義スライドのようです。 「複雑系とは」「自己組織化」「カオスの縁」「複雑適応系」「複雑系の基礎研究」 などについて解説されています。 特に、「自己組織化」の実例が多数紹介されています。
地震と自己組織化臨界現象
物性研究に掲載されたものです(1991年)。 いろいろな実験結果などを総合して、地震に限らず、 火山、地形、気候、生命体、宇宙の構造等、 自然は安定性と敏感性を兼ね持った動的な相転移点に自己組織化されているという 考え方が提示されています。
動的パーコレーション転移と自己組織化臨界現象
物性研究に掲載されたものです(1991年)。 砂山くずしモデル(BTWモデル)の概要について説明された後で、 コンピューターシミュレーションの結果が解説されています。 4ブロックで崩れるとした場合、時間が経つにつれ、 個々のブロックの高さがほぼ一定の定常状態になっていく様子などについて 解説されています。
砂山の臨界状態の解明から地震の予測法を探る研究
光弾性物質を用いた砂を用いて「砂山くずし」の実験を行い、 臨界状態の様子を光弾性写真を撮ることにより、内部の応力鎖の様子の変化について 検討されています。
連鎖反応を用いた複雑系のシミュレーション
計測自動制御学会東北支部の研究集会で発表されたものです(2000年)。 ワタリバッタの大発生について変動格子上の確率モデルを用いた シミュレーションを行い、時間の経過とともに定常状態に 収束する自己組織化臨界現象が生じたことが報告されています。
Power laws and self-organized criticallity in theory and nature
英文ですが、ベキ分布と自己組織化臨界現象について、 かなりまとまって説明されています。

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シミュレーション
ここでは、ネットワークや複雑系をシミュレートする幾つかのプログラムを まとめました。
ネットワーク描画ソフト「Pajek」
ネットワークを描画するフリーソフトとして「Pajek」があります。 下記に、それに関するWebサイトを取りまとめました。
複雑系のシミュレーション-Swarm
複雑系のシミュレーションソフトとして「Swarm」というソフトがあるようです。
  • 複雑系のシミュレート
    「複雑系のシミュレーション -Swarmによるマルチエージェント・システム-」 という書籍のサポートページです。 「Swarm」は複雑系をシミュレートするシステムとして開発されたライブラリーで、 JavaやObject-Cで利用できるようです。 ここでは、そのプログラムやアプリを無償でダウンロードできます。
  • パーコレーションの視覚化
    「Swarm」を利用して、平面と空間の場合の正方格子について パーコレーションのシミュレーションを行う動画が登録されています。
複雑系の入門の紹介
自己組織化臨界現象のモデルとして有名な「砂山崩し」(SandPileモデル)の シミュレーションプログラムをダウンロードすることができます。 ただし、事前に「Microsoft XNA Framework Redistributable 4.0」を インストールする必要があるようです(参照)。
パーコレーション・シミュレーター
信州大学の乙部先生のサイトで「パーコレーション・シミュレーター」が 公開されています。
簡単なパーコレーションのシミュレーションプログラム
EXCEL VBA上で、10×10の2次元格子で、パーコレーションをシミュレートできる プログラムが公開されています。格子数や確率を変えれば、いろいろな場合を シミュレートすることができます。

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参考文献
ここでは、ベキ分布、相転移、臨界現象、パーコレーション、そして 自己組織化に関する主な文献を年代順に幾つか紹介しておきます。 なお、購入サイトへのリンクは張りませんでした。
  • ベノワ・B・マンデルブロー:フラクタル幾何学、日経サイエンス、1984
    この書籍は2011年に上下2巻に分けて筑摩書房で文庫化された。
  • H.E.スタンリー:相転移と臨界現象、東京図書、1987
  • 香取眞理:複雑系を解く確率モデル、講談社、1997
  • スチュワート・カウフマン:自己組織化と進化の論理、日本経済新聞社、1999年
    この書籍は2008年に筑摩書房により文庫化された。
  • 高安秀樹・高安美佐子:経済・情報・生命の臨界ゆらぎ、ダイヤモンド社、2000
  • スタウファー、アハロニー他:パーコレーションの基本原理、吉岡書店、2001
  • アルバート・ラズロ・バラバシ:新ネットワーク思考、NHK出版、2002
  • マーク・ブキャナン:歴史の方程式、早川書房、2003
    この書籍は「歴史は『べき乗則』で動く」と改題されて2009年に文庫化された。
  • 高安秀樹:経済物理学の発見、光文社新書、2004
  • マーク・ブキャナン:複雑な世界・単純な法則、草思社、2005
  • マンデルブロー、ハドソン:禁断の市場、東洋経済新報社、2008
  • 増田直紀・今野紀雄:複雑ネットワークー基礎から応用まで、近代科学社、2010
  • 須鎗弘樹:複雑系のための基礎数理、牧野書店、2010
  • 樋口保成:パーコレーション、遊星社、2011
  • アルバート・ラズロ・バラバシ:バースト、NHK出版、2012
  • マーク・ブキャナン:市場は物理法則で動く、白楊社、2015
  • 田崎晴朗・原隆:相転移と臨界現象の数理、共立出版、2015
  • アルバート・ラズロ・バラバシ:ネットワーク科学、共立出版、2019
  • 「ベキ分布」の特徴と数理、 日本数学教育学会高専・大学部会論文誌第24巻第1号、2020
    このページで紹介した「ベキ分布」の主な特徴と数理について、 その主要部分を取りまとめて発表したものです。

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