雑感日誌

in [数ナビの部屋]

本サイトの運用にともなう雑感的な日誌をとりまとめました。

グラフ電卓を活用して数学ロードを駆け抜けよう!

最終更新日:2020.10.27
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■ 雑感日誌
[御案内] ここでは、本サイトの運営にともなう雑感的な日誌を取りまとめました。数学教育、グラフ電卓、TeX、HTML、リンク集、そしてプログラムなどに関する雑感です。


■令和2年度
2020.10.23 [SSDクラッシュ]
 平成26年10月(2014年)に購入した「Macbook air 11インチ」が、 長年の使用による寿命がきたのか、先週の月曜日ついにクラッシュしました。 朝に開けようとしたらウンともスンともいいません! いろいろ調べたら、起動ディスクが認識されていませんでした。
 SSDは総書き込み量の上限があるようで、5年程度といわれています。 また、何らかの前兆があるようなので、それなりの年数が経過して ちょっと変な動作が見られたら、買い換え時と思い切る必要があるようです。 今思えば、頻繁にブルースクリーンになったり、 電源ボタンを押しても起動せずSMCリセットで復活したことがありました。 その時が買い換え時、あるいはSSDの交換時だったような気がします。
2020.05.13 [科学技術計算ライブラリー(GSL)]
 C言語による関数ライブラリーである「GNU科学技術計算ライブラリー(GSL)」 を利用して、 gnuplotでも球面調和関数のグラフを描こうと 試みました。 C言語は扱ったことはないのですが、GSLに登録されている関数をgnuplotに 取り込む方法を丁寧に解説しているサイトがあるので、それに倣うことで ベッセル関数のグラフを描画するところまではできていました。 本当は、その方法をマスターすることで合流型超幾何関数を利用したかったのですが、 うまくいきませんでした。この合流型超幾何関数 \(\small U(a,b,x)\) を利用すると、 安定分布の確率密度関数を記述することができるようなのです。 なお、RでのGSLパッケージを利用すると、その確率密度関数を記述することができました(参照)。
 その後、球面調和関数と出会いました。この関数を記述するには、 「ルジャンドルの培関数」なるものが必要です。 調べてみるとGSLにも登録されています。 そこで、再度、C言語にチャレンジしてみました。チャレンジというほとではなく、 ベッセル関数のときのプログラムをちょっと修正するだけです。 わりと順調に \(\small Y_2^0\) のグラフを描画するところまでは進んだのですが、 \(\small Y_l^m\) で \(\small m\lt 0\) の場合がうまくいきませんでした。 定義式を何度も確認しましたが、関数値が「0」で返されてきます。
 数日間悩んだ末、やっと原因が分かりました。gnuplotの仕様として、 整数の割り算は整数で返されるようになっていることが原因でした。 たとえば、3/2 では 1 が返されます。どちらかに小数点があればよいようなので、 整数部分の除算の箇所に「1.0」を掛けることにしたところ、 想定したグラフを描画することができました。 これで、ようやく、Maximaとgnuplotでの描画ができるようになりました。
2020.05.06 [Nspireのupdate]
 直前の日誌に 「TI-Nspireをアップデートしたら3DGraphingで媒介変数が 使用できなくなった」と書いたのですが、 これは単なる操作ミスでした。TI-89系では、 媒介変数の式を入力するときに[enter]を押して次の変数に移れました。 TI-Nspireで同じように[enter]を押すと「no function specified」と 表示されてしまいます。Nspireでは、x, y, z のすべてを カーソルキーで移動しながら入力してから [enter]を押さなければならなかったようです。 以前にNspireのマニュアルを作成したときは、この媒介変数も 操作できていたのに、時間が経って忘れてしまっていたようでした。

 一方、Nspireをアップグレードすると Student Softwareもアップグレードすることになるのですが、 PC版のソフトのアップグレードができませんでした。 インストールするときに必要な「msi」ファイルが見当たらない、 というメッセージが出ます。そのファイルは隠しフォルダーである 「\AppData\Roaming」の中の 「Texsas Instruments Inc」というフォルダーにあるはずだと 書かれているのですが、そもそも、 そのようなフォルダー自体が存在しません。 「msi」ファイルを検索してみると、 「\AppData」ではなく「\AppData\Local\Temp」にありました。 そこで、ファイルの場所をそこに指定してみましたが、 それでもインストールできませんでした。 販売元に問い合わせても分からなかったので、 TIに直接問い合わせてみました。
 数日後に返信がきました。 結論は、以前のバージョンをアンインストールして、 さらには手動で、次の3つのフォルダーを削除する必要があるようです。
  • \Program Files\TI Educaion\<software flavor>
  • \ProgramData\<software flavor>
  • \AppData\Roaming\Texas Instrument\<software flavor>
その後で、改めてインストールしたところ、無事にアップデートが 完了しました。 いろいろなソフトウェアのアップデートで問題が生じたときは、 以上のように残存フォルダーを手動で削除するとよいようです。
 また、「AppData」という隠しフォルダーは、普段使っている 「WinFD」では表示できるのですが、 Explorerでは表示されず、表示させるためのメニューもありません。 そのようなときは、 「スタートメニュー」を右クリックして、 「検索」の箇所で「%AppData%」を入力すればよいようです。 または、「ファイル名を指定して実行」から「shell:appdata」 としてもよいようです。
2020.05.01 [球面調和関数]
 掲示板[8]で球面調和関数 に関する質問がなされましたが、 質問者はTI-Nspireを購入したての方のようです。 そこで、私もTI-Nspireで試してみようと思いましたが、 何と、私の所持するTI-Nspireは3次元の媒介変数モードが使用できなくなっていました! 以前にNspireのマニュアルを作成したときは大丈夫だったのですが、 その後のアップグレードを何度か繰り返す中で生じたことのようです。
 そこで、必要な関数を定義した上で、グラフ描画部分を、 このグラフ電卓の販売元の「ナオコ」さんに依頼してやってもらったところ、 TI-Nspire CX CASでも「球面調和関数」のグラフを描画することができたので、 そのことを掲示板[10]で報告しました。
 この関数は、高階導関数で定義される関数の、さらなる高階導関数に対して、 変数部分に cos(t) を代入し、さらには e^(imu) を掛けて得られる複素関数です。 そのような複素関数の絶対値で表される実関数のグラフを、 TI-Nspire でも描画できるということであり改めて「TI-Nsire CX CAS」の能力に ついて実感させられました。
 下記にNspireの表示画像も紹介しておきます。 球面調和関数 \(\small Y_1^0, Y_2^0\) の絶対値のグラフです. TI-Nspireをお持ちの場合は、 「tns」ファイルをこちらから ダウンロードすれば、自分で試してみることができます。

 

2020.04.29 [球面調和関数]
 掲示板[8]に「球面調和関数」に関する質問がありましたが、 名前を聞いたことがある程度で詳細把握はしていませんでした。そこで、 質問をうけたついでにWeb検索で調べてみました。
 それによると、球座標におけるシュレディンガー方程式を、 解が3つの関数の積に分解できるとして求められた解のうち、 角度に関連する部分(複素関数)のことを指し、 そのままではグラフ化できないので絶対値を取って描画することに なるようです。
 具体的には次のような関数です。\(\small l,m\) は整数で \(\small l\geq |m|\). \[\small \begin{align*} Y_l^m(\theta,\phi) &=(-1)^{\frac{m+|m|}{2}}\sqrt{l+\frac12}\\ &\times\sqrt{\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_l^m(\cos\theta)\\ &\times \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi} \end{align*} \] \(\small P_l^m(x)\) はルジャンドルの培関数と呼ばれる関数で、 次の式で表されます. \[\small P_l^m(x)=(1-x^2)^{\frac{|m|}{2}}\frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_l(x)\] \[なお,\small P_l(x)=\frac1{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\]
 入力する式が複雑でNspireでの入力は適さないと思われるので、 Maximaでやってみたところ、 Webなどで紹介されているグラフと同じものが得られました。 せっかくなので、Maximaの「いろいろな関数」の箇所に 項目を追加して登録しました。
 なお、以上の解はラゲールの培多項式やルジャンドルの培関数などを 用いて表されています。「ベキ分布」のときもそうでしたが、 このような特殊関数を自分が取り扱うことになろうとは思いもしませんでした。 いろいろな専門分野で必要な関数を考えていくと初等関数で間に合うわけはないので、 それぞれの分野に応じて必要な関数が考え出されてきたのだと思います。 「初等関数」「特殊関数」という名前について、初めて実感できたような気がしました。
 
 「ベキ分布」の重要性について訴えているところですが、 昨年、主な特徴と数理をまとめて日本数学教育学会高専・大学部会論文誌に 投稿しました。先月に発行され、先日、冊子が送られてきました。 本サイトにも登録したので、 参照してください。
2020.04.03 [ベキ分布の和]
 ベキ分布の和の分布について調べるべく「R」に取り組んでいるところですが、 一般化中心極限定理によると、 ベキ分布 \(\small a/x^{a+1}\) の和の分布は、同じ指数 \(\small a\) を持つ 安定分布に近づいていくようです。そこで、そのことを確認しようと思いました。 安定分布の確率密度関数は、正規分布、コーシー分布、レヴィ分布 の場合しか初等関数で表すことができませんが、 特殊関数を利用すると、指数が \(\small 2/3, 3/2\) の場合の 確率密度関数も書き表すことができるようです。 その特殊関数としては、合流型超幾何関数を用いて定義される ホイッタカー関数が 利用されています。そのような関数があることは知っていましたが、まさかそれを 自分で取り扱う場面に遭遇しようとは思ってもいませんでした。
 その特殊関数は gnuplot でも利用できようでしたが、 それにはC言語で簡単なプログラムを作成する必要があります。 「C」は扱ったことがないのであきらめて、代わりに 統計処理ソフト「R」を利用することにしました。利用し始めると、 「R」にはベキ分布(パレート分布)は登録されていないことを知り ちょっと驚きました。しかし、パッケージとして「Pareto」なるものがあり、 確率密度関数、累積分布関数、分位関数、乱数などは利用することができます。 また、gnuplot で利用しようとした「 GNU Science Library(GNU)」の パッケージ(gsl)もありました。 そこで、この2つのパッケージをインストールして ベキ分布の和について調べてみて、 やっと安定分布に近づいていくことを確認することができました。 分散が存在しない確率分布にしたがう乱数生成は それこそメチャクチャな値を発生させてきますが、 その分布をヒストグラムにして描画すると それなりの曲線が描かれてくるのは、何か不思議な感じがします。

■令和元年度
2020.03.26 [秀丸マクロ]
 いろいろな文書は、ほとんどエディターの「秀丸」を利用して作成しています。 TeXを利用するために入力支援マクロの「fortex」を組み込んでいるのですが、 なぜか2週間程前からエラーが出るようになり、 秀丸の中でTeXのコンパイルができなくなりました。エラー内容は 「 文字列中の「\」は「\\」と書く必要があります(ヘルプ参照) 」というものです。 秀丸の設定変更は特にしていないので、原因が分かりませんでした。 編集作業に問題はないので、いったん保存して「WinFD」に登録している コマンドを利用してコンパイルしていましたが、 秀丸の「ヘルプ」に対応法が書かれていることに気づきました。 よく見れば、エラーメッセージに「ヘルプ参照」と書かれています。 そこでヘルプを見ると、「文字列中の\についての警告」がでた場合の 対応法が書かれていました。要するに、 「マクロで問題のある文法の警告を出さない」という項目を「ON」にすればよい ようです。これで、通常の編集作業に戻ることができました。
2020.03.21 [Google Chrome]
 これまで、スマホでの画面表示は、 Google Chrome のデベロッパーツールを利用してPCで確認していましたが、なぜか「カスペルスキープラグインがクラッシュしました」というメッセージが出て Google Chrome が利用できなくなりました。 いろいろやってみましたが、このトラブルを回避できません。
 それで、他にスマホ画面をPCで確認する方法が無いかを調べたら、 他にもあることがわかりました。Firefoxの場合は、 確認したい画面で「右クリック」から「要素を調査」を選択して表示される画面で、 「ctrl+shift+M」とすればよいようです。 しかし、ドロップダウンメニューには対応していないようです。
2020.03.20 [R_memo]
 ベキ分布から安定分布にたどりつき、その安定分布のパッケージを取り扱えるようにと思って「R」の操作方法を習得しようとしているところです。 せっかくなので、その操作方法もこのサイトのページの一部として 取り入れることにしました。
 何とか、乱数を利用して平均のヒストグラムを描画し、 確率密度関数のグラフを重ねるところまで到達しました。 その操作解説も、それなりの量になってきたので 「Rに関する備忘録」として公開することにします。
2020.03.13 [Rでグラフフィックス]
 「ベキ分布」 のことを知って10ケ月ほど経ちました。 その関連で「安定分布」 に突き当たりましたが、Maximaに安定分布のパッケージは 備わっていません。調べてみると、 統計処理ソフト「R」には安定分布のパッケージ(fBasic)がありましたが、 「R」は使ったことがありません。さらに調べると、 いろいろな関数をまとめたC言語のパッケージに「GPL」なるものがあり、 その中に安定分布に関する関数が幾つか登録されています。 そして、簡単なC言語のプログラムを経由すると、 そのパッケージの関数をgnuplotでも利用できることを知りました。 そのやり方を詳しく解説しているサイトがあるので、 その通りにやってみたらgnuplot で高次のベッセル関数のグラフを描画する ことができました。
 同じノリで安定分布もと思いましたが、引数にポインター変数が 利用されているので、「ポインター」を理解していないとプログラムを組むことは 難しいことに気づきました。そこで、gnuplotからの利用はあきらめて、 「R」で利用してみようと思いました。 それには、まず「R」の使い方を習得する必要があります。そこで、 いろいろな解説サイトを参照しながら取り組み始めているところですが、 「R」は単なる統計処理ソフトではなく、グラフィック関係もかなりの充実 していることに気づきました。「TeX」のファイルに変換することもできます。 「R」は通常は統計解析の立場から解説されていますが、 関数のグラフ描画ツールとして利用することもできるように感じました。 グラフに関して、かなり詳細な指定をすることができるようなので、 そのうちまとめてみようかと思っているところです。
 「R」のグラフィック機能については、下記を参照しました。
2020.03.10 [無音カメラ]
 退職の身としては、いろいろな書類のコピーは簡単ではありません。 紙として配布するのではなく記録として残すのであれば、 写真で撮影して残しておくのがよいかもしれません。 しかし、一枚だけならまだしも大量に撮影しようとすると、 その度にシャッター音がするのはちょっとうるさいです。 後で閲覧が楽なのはiPadなどのタブレット端末です。しかし、 どうやら盗撮防止のために、日本で販売されている機器ではシャッター音は 消せないようになっているようです。 そこでWeb検索すると、iOS対応の無音カメラが幾つかありました。 その中で好評を得ているのは「Microsoft Pix」というアプリでした。
 そこで、さっそくインストールして使い方を事前練習し、 意気込んで撮影を開始しましたが、 20数枚撮ったらシャッターボタンを押しても撮影されなくなりました。 あれころ試してもダメだったので、あきらめて再度調べてみましたが、 なぜ撮影されなくなったのか分かりませんでした。 しかし、再度Microsoft Pixの設定の仕方を試行錯誤している中で、 「フィードバックのユーザー設定」の箇所に問題があることに気づきました。
 このアプリをインストールすると、 最後の方で「撮影画像の一部がMicrosoftに送信される」とあり、 そのことに同意するかどうかを求められました。 個人情報は保護されるとありましたが「同意しない」にチェックしたからでは ないかと思われます。そのことは、 iPadでの個々のアプリの設定でMicrosoft Pixの箇所で 「フィードバックのユーザー設定」の箇所になります。 「同意しない」にチェックしたので、その箇所はオフになっていますが、 その箇所を「オン」にしたら撮影ができるようになりました。 とりあえず、やれやれというところです。 なお、Microsoft Pixは、 2020年3月20日をもって公開終了となるようです。

無音カメラとしては、下記のようなものがあるようです。
2020.01.13 [掲示板設置]
本サイトは、それなりにページ数も増えてきて内容も豊富になって きたのではないかと思うのですが、閲覧いただいた反応はほぼ皆無です。 そこで、閲覧いただいた感想などをお知らせいただければと思い、 無料レンタル掲示板「teacup」を利用して 「掲示板」を設置しました。 ご覧いただいた感想なりをお知らせいただけるとありがたいです。
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2019.12.24 [バッテリー交換]
現在使用している「MacBook Air」は、2014年10月に購入したものです。 大きさはA4サイズより若干小さく、薄さ(最厚部1.7cm)と軽さ(1.08Kg)で 出張でも気になりませんでした。CPUは「core7」にアップグレードしてあるので、 速度的にも問題ありません。 ただ、購入当初のバッテリー駆動時間は9時間でしたが徐々に短くなっていき、 一昨年ほど前から2時間も持たなくなってしまいました。 おそらく、家では外部CRTと接続してデスクトップみたいに電源を繋いだままの 使用法であったことによるのかもしれません。ただ、Appleでは、そのような 使い方でも特に問題はないと言っているようです。

それで、バッテリーを自分で交換しようと思って 交換用のバッテリーを購入していたのですが、 「そのうちに交換しよう」と思って 1年以上は駆動時間2時間未満のままで使用してきました。 しかし、購入した未使用バッテリーを長期間使用しないまま保存しておくことは まずいらしいことに気づき、急遽、バッテリーを交換することにしました。 交換作業を動画で登録しているサイトがあるので、 それを何度も見て作業手順を確認してから交換しました。 MacBookのネジを外すには特殊なドライバーが必要なのですが、 購入したバッテリーにはドライバーも附属していました。 交換の作業手順は下記のようなものです。 当然、バックアップ等を行い、シャットダウンしてからの作業になります。

  1. 裏蓋のネジをはずす
  2. バッテリーのネジをはずす
  3. バッテリーのコネクターを取り外す
  4. 新しいバッテリーに付け替える

単にネジとコネクターを外して取り替えるだけなのですが、 動画ではコネクターを外すときにちょっとコツがあるような解説だったので、 若干の不安を持ちながらやってみました。 裏蓋を開けると、意外にも内部にホコリは全くありませんでした。 コネクターは、ちょっと爪で上に引っかけたら簡単に取れました。 問題は、購入して1年以上は放置したバッテリーの方です。 「駆動時間がどれくらい持つのだろうか?」ということです。

場合によっては充電できないかもしれないという不安を持ちつつ 電源を繋いでスイッチを入れると、 ちゃんと起動できたのでとりあえずは安心しました。 次に、フル充電をしましたが、2時間30分程度かかるという表示だったのが、 1時間未満でフル充電になりました。 このこと自体、すでに劣化が進んだ証拠ではないかと不安になりました。 その後、駆動時間を測ると、どうやら5時間は持つことが分かったので、 まずは安心できました。これで、 ちょっとした出張等では(重い)外部バッテリーを持っていく必要がなくなりました。

今回は下記のサイトを参照しました。

2019.12.20 [起動が遅い]
東芝のノートPC(T554/76LR、Windows8.1)をWindows10に無償アップグレードしたら、 起動がやたらと遅くなりました。 スタートアップのアプリや、不要なアプリを無効にするかアンインストールすれば 改善されるようです。
2019.12.18 [コンサート]
先日、「冬季のモンゴル滞在記」を見られた方からメールが来ました。 ご主人がモンゴルの伝統舞踏家として モンゴルの国立歌舞団で活躍されていた方のようです。 メールの内容は、来年に行われるコンサートの御案内でした。 この「雑感日誌」をどれだけの方が閲覧しているのか定かではありませんが、 せっかくメールをいただいたので、ここで紹介しておきます。 関心を持たれた方は鑑賞されてみてください。

  1. 「モンゴルと日本の架け橋コンサート」 [URL]
  2. 期日:2020年1月10日(金)、19:15〜21:15
  3. 場所:東京都中野区中野2-9-7、なかのZERO西館、小ホール
       Tel: 03-5340-5000
  4. アクセス:JR中央本線または東京メトロ東西線「中野駅」、南口から徒歩8分

2019.12.15 [Windows10へのアップデート]
Windows10への無料アップグレードは数年前に終了したと思われていましたが、 マイクロソフトの方針転換により現在でも有効のようです。 ただし、Windows7とWindows8.1からの場合に限られるようです。
2019.12.13 [ブルースクリーン]
このところ、スリープモードから復帰すると「ブルースクリーン」になって 「問題が発生したため、PCを再起動する必要があります。」というメッセージが出て 再起動がかかります。 再起動後は正常に利用できますが、 何度かのスリープ後に、また同様の状況になります。 これは、ハードやソフトなどでは修復できないようなエラーがあると、 強制的に再起動して解決しようとするWindowsの機能の一つであるようです。

エラー原因には幾つかの種類があるようですが、私の場合は 「SYSTEM_THREAD_EXCEPTION
_NOT_HANDLED」というエラーで、 「bcmwl63a.sys」に原因があると表示されていました。

(注) このようなエラーコードを一続きで書くと、 PCでは特に問題はないのですが、 スマホではこのコードを1行に表示しようとして表示が乱れるようです。 PCで表示が続いているように見えても、実際には 「EXCEPTION」と「_NOT」の間に改行記号を入れています。 スマホでの表示の乱れに気がついて、その原因を探すのに一苦労しました。 長いURLを本文に直接書き込んでも同じ症状になります。
この「ブルースクリーン」は、再起動が繰り返される場合もあるようですが、 私の場合は再起動すると正常利用できるのでそのまま使用していましたが、 結構な頻度でブルースクリーンになるので、ちょっと調べてみました。 「bcmwl63a.sys」で検索すると、アメリカのYouTubeサイトに解決法が動画で アップされていました。 英語は分からないですが、操作画面が一緒に表示されるので、 その通りにやってみました。次のような操作でした。

デバイスマネージャー
> ネットワークアダプター
> Broadcom 802.11ac Network Adapter
> (右クリックで)ドライバーの更新
> コンピューターを参照してドライバーソフトウェアを検索
> コンピューター上の利用可能な一覧から選択します
> 「Broadcom 802.11ac Network Adpter」に関する 日付の異なるファイルが多数表示されるので、 その中から最新版を選択して「OK」を押しました。

以上の操作で、今のところブルースクリーンは出てきません。 参照したのは下記のサイトです。 英語のYouTubeでは、一時停止を連発して表示画面をメモしました。

2019.12.05 [WinFD]
私は、MS-DOS時代の定番ファイラーである「FD」のWinodws版 「WinFD」を 使用しています。 上段の「Info:」の箇所にはファイル名とサイズや日付が表示されます。 WinFDを使用していると、ときどき「日付」と「時間」の間に 黄色の「C」が表示されてファイルの順序がちょっと変に表示されるときがあり、 それを修正するのに四苦八苦することがあります。

photo

先ほどもそのような状況になりましたが、 これはファイルの日時表示が「作成日時(C)」になっているからでした。 トップメニューから、[表示]>[日時表示]>[更新日時(F)] とすることで、 黄色の「C」が消えます。 何かのはずみに日時表示を変更して「作成日時」としたため、 ファイルの並べ替えが作成順になってしまったようです。 この現象はときどきあるので、 備忘録としてここに残しておくことにします。

2019.12.04 [Installer, PatchCleaner]
ディスク容量の大幅減少の際に利用した 「FileSum」の結果をみると、 「Windows」フォルダーも80GB以上を消費しています。 サブフォルダーの詳細をみると、 隠しフォルダーである「Insatall」フォルダが50GB以上も消費していました。 そのフォルダーには、インストールやアンインストールの際の情報が 残されるようですが、大部分は不要なファイルのようです。 しかし、手動では削除できず、削除しようと思っても、 そもそもWindowsのシステムファイルに関することなので 「大丈夫だろうか?」という不安が残ります。

ここでネット検索すると、「PatchCleaner」というフリーソフトがあり、 それを利用すると、必要・不要の判別をして不要なファイルを削除してくれるようです。 さらに、削除することに不安を感じるときは、 別フォルダーに「移動」することもできるようです。 そこで、念のため、外部ディスクに移動したら、空き領域が50GB以上増加しました。 現時点では、システム部分を除くディスク容量が190GBのとき、 空き容量が100GB以上になりました。 つい先日までは空き容量が「ほとんど0 バイト」状態だったので、 空き領域が一気に100GB以上にもなって大変うれしく思っているところです。 この後、削除した事による後遺症が出てこないことを祈るのみです・・・

ただし、上述で紹介したのサイトの指示に従ってダウンロードしようとすると 「Oh no!」として拒否されました。 私の場合は、最新版の「1.4.2.0」ではなく、その下にある「1.4.1.0」を ダウンロードして移動することができました(2019.12.04現在)。 参考にしたのは、以下のサイトです。

2019.12.01 [臨界現象と自己回避歩行]
「ベキ分布:リンク集」は、 種々の現象から論文まで主要なものは大体登録できたと思うので、 とりあえず一段落ついたと思われます。 訪問者も増えてきて、うれしく思っているところです。

思い起こすと、「ベキ分布」の重要性に気づいたのは令和になってからの6月下旬頃。 それから急遽いろいろと検索していくと 相転移や臨界現象に関することとの繋がりがあることが分かり、 「自己組織化臨界現象」にまでたどり着きました。 どうやら、自然現象や人間の行動も含む世の中のいろいろな事象は、 相転移の臨界点に相当する状況に自然に組織化されていき、 そこでは何かの量がベキ分布にしたがっている、というようなことのようです。 これに関して有名なのは「砂山モデル」です。 砂粒を落とし続けていくと一定の形状をした砂山ができ、 さらに落とし続けると不規則に「なだれ」が発生します。 そして、「なだれ」を起こしながらも一定の形状を保ち続け、 さらに「なだれ」の大きさと頻度はベキ分布にしたがっています。

この臨界現象で検索していくと、 パーコレーションや自己回避歩行(Self-Avoiding Walk, SAW)なる ものにもたどり着きました。 パーコレーションが相転移の数学モデルであることは分かりましたが、 自己回避歩行がどのような繋がりがあるのか分からないでいましたが、 「数学学習:リンク集」に登録した 「確率論と数理物理学」の 「4.臨界現象」のスライドを見て納得できました。 たとえば、高分子が繋がっていく過程を考えると、 自分自身とは交われないという条件がつきます。これが、確率論では、 自己回避歩行(一度通った軌跡とは交わらないランダムウォーク)としてモデル化される ようです。パーコレーションの場合は、 一つの格子点から一定の確率で繋がっていくとき、 一旦つながった格子点とは繋がれないということと同じ事になります。 そこでは新たな繋がりを考えるときに過去の軌跡が影響してくるので、 個々の繋がりが互いに独立とはいえません。 互いに独立とはいえない確率変数の和を考えることなるので、 べらぼうに難しい問題となるようです。

この問題に関して、「臨界現象・フラクタル研究の新世紀」によれば、 その軌跡を一つの確率微分方程式 \[\small \frac{\partial}{\partial t} g_t(z)=\frac2{g_t(z)-U_t},\quad U_t=\sqrt{\kappa}B_t \] で表すことができることが証明されたようです。 その業績に対してフィールズ賞が与えられています。ここで、 \(\small g_t(z)\) は複素関数、\(\small \kappa\) は正のパラメータ, \(\small B_t\) は \(\small t=0\) で原点をスタートして実軸上を運動する ブラウン粒子の時刻 \(\small t>0\) での位置を表します。 このような確率微分方程式は、Schramm Loewner Evolution(略して「SLE」)と 呼ばれているようです。

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2019.11.25 [Python]
これまで、プログラミング系の言語として BASIC、Pascal、TeX、HTMLなどを やってきましたが、昨今は「Python(パイソン)」が大流行のようです。 そこで、ベキ分布に関するいろいろなシミュレーションを Python を用いて やってみようと思いインストールしてみました。 ある程度のプログラムは囓ってきたつもりなので、 書式を把握すればそれほど苦労なくプログラミングできるだろうと 高をくくっていたのですが、そう簡単ではありませんでした・・・。

パイソンではいろいろなアプリが充実しているので、それをダウンロードすれば 自分でプログラムを組むことなく即座にいろいろなことができると 理解していたのですが、そもそものアプリのダウンロードと、 それをパイソンに組み込む箇所で四苦八苦してしまいました。 ネット検索すると「パイソン」で多数のサイトがヒットしますが、 どこをみても四苦八苦部分を解決できるようなことが書かれていませんでした。 時間を無駄にするので、あきらめようかと思っていたとき、 この四苦八苦部分の原因が判明しました。 それは、パイソン本体を単体でインストールしたことにありました。 パイソンを利用するには、パイソン本体を含む総合環境を整える必要があるようです。 その総合環境として、 「Anaconda(アナコンダ)」なるものがあるようです。 このアナコンダをインストールすると、パイソン本体に加えて、 主要なライブラリーや各種のツールもインストールされます。 その中には、統計解析ソフト「R」も含まれています。 アナコンダにはパイソンの実行環境として 「Jupyter Notebook」なるものが含まれています。 つまり、パイソンを試してみるには、次の手順となるようです。

  1. アナコンダをインストールする。
  2. スタートメニューから、 アナコンダのフォルダーにある Jupyter Notebook を起動させる。
  3. アナコンダが立ち上がり、Webブラウザーに Jupyter Notebook の画面が開く。
  4. その画面から、パイソンを実行する。

いろいろWeb検索しましたが、インストールの仕方から プログラミングの書式の解説、そしていろいろなライブラリーの解説が まとまっているのは 「 Python 数値計算入門」でした。
主要なライブラリーとしては下記のようなものがあり、 すべてアナコンダに含まれているようです。 これから、いろいろと試してみようと思います。 数式処理のパッケージまで含まれていることは、 この文面を書いていて初めて知りました。

  • Numpy: n-次元の配列処理、いろいろな数学関数
  • Scipy: 特殊関数、線形代数、高速フーリエ変換等の各種の科学技術計算
  • Sympy: 数式処理パッケージ (微分積分や微分方程式の解法等)
  • Mathplotlib: グラフ描画パッケージ

2019.11.23 [ディスク容量の減少]
2週間程前、メールを受信しようとしたら「ディスクの空きスペースが足りないので 受信できません」という内容のメッセージが表示されました。 見てみると、通常は数十ギガはあるはずなのに 残りスペースが「0」表示になっていました。

ウィルスにでも感染したのだろうかと思い、 時間のかかる完全スキャンをしてみましたが異常はありませんでした。 ともかく、空きスペースを作らないとどうしようも無いので、 写真や音楽ファイルを外部HDに移したり、 使っていないソフトをアンインストールしたりしましたが、 せいぜい数ギガ程度しか増えません。 さらには、せっかく増やした空きも、 いつの間にか数百メガに減少してしまったりしました。

高専の電算室の人に聞いてみると、ウィルスに感染したのであれば、 そんなちゃちな反応ではなく全く使用できなくなるようなので、 とりあえずウィルス感染ではないようです。 そうこうしているうちに、いつの間にか50ギガの空きができていました。 「良かった」と思っていると、これまたいつの間にか残り数百メガになったりします。 原因が分からず、困ってしまいました。 そこで、ネット検索で「ディスク容量の大幅減少」で検索すると、 同様の症状で困っている方がおられるようです。 下記のようなものがありました。

最初のサイトに、 各フォルダーごとの容量を調べてくれるソフト(FileSum)が紹介されていたので、 そのソフトを利用して調べてみました。 それにより、やっと50ギガも消費しているファイルを見つけることができました!

原因は、SSL_VPN に関するソフトのログファイルにありました。 このソフトは、非常勤として出向いている大学の学生向け教育支援サイトに接続 するためのものです。そのログファイルが、1ファイルで「54,802,763,776 バイト」を 消費していました。問い合わせると、削除しても問題はないとのことでしたが、 特に何もしなくても、 いつの間にか数百バイト程度になって空き容量が50ギガ以上に戻りました。 ログファイルがこれだけの容量を消費してしまう理由は不明ですが、 おそらく、原因は私自身の使用法にあると思われます。 このソフトの終了のさせ方を把握しないまま使用していて、 終了させるときはタスクマネージャーを利用して強制終了させていました。 このソフトは起動しても明示的には表示されないので、 アイコンらしきものがありませんでした (後で、小さいアイコンをまとめて収録している箇所に 納められていることを知りました)。 たぶん、そのような使用法のために、何かの理由で空き容量の大部分を消費して しまったのではないかと思われます。

とりあえずは安心ですが、以上の一連の作業の中でメールの一部を消失して しまいました・・・。

2019.09.27 [高専学会、論文集『高専教育』]
昨年、 日本高専学会誌の編集委員をしている先生から、 次号(第24号)の特集「半世紀の高専教育を振り返るー道具の進化と教育のあり方−」 への寄稿を求められ、 「数学教育と工学教育におけるグラフ電卓の活用」と題して投稿しました。 今年1月に発行されましたが、 目次は公開されても本文検索まではできないようです。 そこで、拙Webサイトへの登録を申請したところ許諾いただき、 「数学教育での活用事例」の箇所に登録しました。 論文というよりも、思い出話としてのスタンスで取りまとめたものです。

それにしても、高専における教育論文誌として長年発行されてきた 「論文集『高専教育』」が、 平成26年度の第38号の発行をもって廃刊になってしまったことは、 どう考えても理解できかねるところです。 この論文誌には、高専における一般教育・専門教育・学生指導・国際交流などの 幅広い分野にわたり、各高専や教員の様々な取り組みが掲載されてきました。 高専ではどのような教育を行っているのかを外部に示すときに、 極めて重要な論文誌であったと思います。 しかしながら、編集・発行を各地区ごとの持ち回りで行っていたため、 「論文誌」として本来なされるべきCiNiiへの登録がほとんどなされてきませんでした。 僅かに第33〜37号のタイトルと英文概要だけは検索できますが、 それ以外はタイトルさえ検索できません。 つまり、個々の高専教員が心血を注いで作成した論文や、 個々の高専が心血を注いで実践してきたいろいろなプロジェクトの報告内容が、 外部からは一切検索できないことになります。 長年続いた学会誌に相当する論文集を、 CiNiiへの登録も行わずにいきなり廃刊にしてしまうことに 相当するのではないでしょうか。 自らの実践で積み重ねてきた貴重な記録を、 自ら覆い被して終いには廃棄してしまうような行為であり、 高等教育機関としてどうなのだろうかと思えてなりません。 予算上の問題があったとしても、 この部分は最後まで死守すべき事項であったのではないかと思います。 また、「全国高専フォーラム」なるものが開催されるようになり、 そこでは高専の教育研究に関する多数の発表が行われていますが、 その内容も外部からは一切検索できません。 公開しない理由も、よく分からないところです。

頑張ってまとめた論文がWeb検索すらできないということは、 あたかも自分の存在価値が否定されているかのような思いにすらなります。 今からでもよいので、発行された巻の内容をCiNii登録してもらいたいものです。 少なくとも全巻の目次くらいは登録できないものなのでしょうか。 やろうと思えば、すぐにでもできることと思います。さらに、 各高専に1巻ずつ割り振って本文登録の作業を行うようにすれば、 それほどの作業量ではないようにも思えます。

ということで、日本高専学会誌の論文を登録するにあたり、 改めて当時のどうしようもない思いが沸々とわき起こってきてしまいました。 今さらながらの事ではありますが・・・。

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2019.08.26 [タンチョウの個体数]
久々に、グラフ電卓に関する研究会「T3Japan」で発表してきました。 発表といっても、以前にまとめた タンチョウの個体数変化を TI-Nspireを用いた解析しただけです。 1コマでは時間的に無理なので2コマで申しこみました。 以前は1コマ45分だったのですが、 行ってみたら60分になっていました。 久々に授業並の声を張り上げて連続2時間話し続けるのは、 正直疲れました。

TI-Nspireを用いて実データを解析する作業を参加した皆さんと一緒に やろうと思ったのですが、Nspireを使い慣れていない方が大半なので、 ちょっと細かい作業を要求しすぎたかもしれません。 このタンチョウの個体数変化は、是非、普及させたい教材なので、 次年度は初心者の方でも抵抗なくやれるように工夫してみたいと 思います。

「TI-Nspire CX CAS II」が発売されて、処理速度が2.5倍になったようです。

今年度の第12回グラフアートカンファレンスでは、グラフ電卓を利用した作品よりも Desmosを利用したものが 多かったように思います。 複数の曲線を同時に描くために直積を利用したり、 多数のギザギザを絶対値関数を何度も入れ子にして描いている作品もありました。
2019.07.27 [Maxima, 確率・統計,数学遺伝子]
「Maximaを活用した数学学習」で 「確率・統計」部門が かなりの量になってきました。 数学記号はMathJaxを駆使しているので、ファイルが大きすぎると 読み込んでからの表示に時間がかかってしまいます。 そこで、今の段階では5つのファイルに分割しています. いずれも、70KB前後のファイルです。
maxima3 :記述統計・グラフ・乱数
maxima3a :正規分布・中心極限定理・カイ二乗分布・t分布・コーシー分布
maxima3b :ベキ分布・レビ分布  ← 「ベキ分布」は極めて重要なようです!
maxima3bs :安定分布
maxima3c :回帰分析

画像ファイルは一つのフォルダーにまとめていますが、 ファイル数をみると500以上になっていました。 そのうち、ファイル名が重複してしまうかもしれません・・・。

先日、津山高専の松田先生より、 「数学の才能に関連する遺伝子が発見されたらしい」 という情報をお知らせいただきました。中国の研究者による もののようです。 ( 原文日本語解説)
2019.07.12 [ベキ分布]
「Maximaを活用した数学学習」で、 べき分布安定分布の解説をしているところですが、 書き進めるにしたがい、日本の統計教育について疑問を感じてきてしまいました。 安定分布の解説は無理としても、 少なくとも「ベキ分布」は紹介すべきであるように思います。 ベキ分布の実例は、正規分布以上に山ほどあります。 身の回りは、正規分布よりも、むしろ「ベキ分布」だらけのようです。 中心極限定理ばかりを強く刷り込んで、 「何でもかんでも正規分布だ!」というようなスタンスで解説することは、 その後の思考回路を大きく狂わせてしまうのではないかと危惧します。

「ベキ分布」には自己相似性があります。 グラフの一部を切り出して縦横に伸縮すると元のグラフと重なります。 しかし、そのこととフラクタル性とが結びつかないでいましたが、 自己相似性を持つ図形をフラクタル図形というのであり、 要するに同義語のようです。 ベキ分布にしたがう乱数の平均が どのように変わるかをグラフ化すると、激しいギザギザになりました。 何しろ、平均も分散も存在しない、 つまりは分布を代表する値が存在しないので、 平均を何回取っても、 どんな値になりそうなのか全く予想ができないということです。 おまけに、ときどきとんでもない値がでてきたりします。 その状況は、1万個でみても、千個でみても、百個でみても同じでした。 一見すると、まったくのメチャクチャな振動のように見えるのですが、 その値のヒストグラムを描くとそれなりの分布曲線になります。 また、隣どおしの比がどのように変化するかをみると、 何とラプラス分布になりました。

それから、安定分布についてしっかり説明することは難しいとは思いますが、 少なくとも、同じ分布にしたがう確率変数の和の分布が、 同じ分布にしたがう一つの確率変数の1次式の分布と一致するということは 述べておくべきではないかと思います。 それが、安定分布です。 平均や分散が存在しない分布というものがどのような分布で、 そのような分布がどのような性質を満たしているのかを紹介する程度のことは やっておくべきなのではないかと感じました。

なお、以上の関連でWeb検索している中で、フラクタルで著名な高安秀樹先生の、 フラクタルに関する総合報告的な論文 を見つけました。今から30年以上も前のものになりますが、 基礎から専門数学部分までを把握するには参考になると思います。
2019.07.05 [レビ分布]
「Maximaを活用した数学学習」の 安定分布の解説で、 分散が発散するような分布では平均の分布がどのようになるかを 確認しているところです。 Maximaの登録関数を利用して簡単に済ませるはずだったのですが、 レビ分布を試そうと思ったら、何と、 レビ分布はMaximaには登録されていませんでした!

そこで、レビ分布の確率密度関数はWikipediaにも掲載されているので、 必要な関数を自前で定義 してやってみることにしました。 乱数の発生は逆関数法を 利用して乱数発生のコマンドを作るところまでは到達したのですが、 数十個の作成はできても1万個の作成ではエラーが生じました。 エラー原因が分からず悩みましたが、 おそらく累積確率分布関数の逆関数の定義域の端点付近で、 値の処理がうまく行かないからではないかと予想しました。 レビ分布の累積分布関数は第二種不完全ガンマ関数で表され、 それは変数変換をしていくと誤差関数で表すことができます。 誤差関数の逆関数は「inverse_erf」として利用できます。 その誤差関数は、標準正規分布の累積確率分布関数「cdf_normal」でも 表すことができ、「cdf_normal」の逆関数は「quantile_normal」です。 そこで、レビ分布の累積確率分布関数「cdf_levi」を 「inverse_erf」や「cdf_normal」を利用して表してやってみましたが、 結果は同じでした。

困ってしまいました。Wikipediaには、誤差関数の逆関数の級数展開の 式があるので、それを利用してやってみるとうまく行きましたが、 Maximaに登録されている「inverse_erf」とグラフを比較してみると、 端点付近での違いは無視できません。単純に級数の項数を増やしても、 その違いを解消できませんでした。

乱数を発生させるコマンドは作成できているので、 とりあえず、レビ分布にしたがう乱数になっていることを確認してみる ことにしました。つまり、複数個の平均ではなく、 乱数1個だけの分布を確認することにしました。 1個だけにして要素数1万個のリストを作成したら、 すんなり作成できてしまいました。 エラーが生じることもありますが、数回試すと作成されました。 平均の分布を調べようとしていたので、最初は他の分布で試したのと同じ 5個平均からなる要素数1万個のリストの作成でエラーが生じていた ことになります。そのリストを作成するには乱数が5万個必要です。 そこで、わりと作成されやすい1万個ずつの乱数を多数回作成して、 そのリストを合わせて5万個と10万個の乱数を得ることができ、 やって当初予定した5個と10個の平均からなるリストを作成することができました。 いずれも、裾部分がもとの分布を定数倍したものになっていました。
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2019.06.29 [中心極限定理]
「Maximaを活用した数学学習」で、何とか非線形回帰を行うパッケージ 「lsquares」の解説を書き終えました. グラフ電卓との関係では、 タンチョウの個体数変化のときに 指数回帰を行ったことがあります。 昨年に作成したNspire操作マニュアルの 統計関係の箇所も参照しながら作成しました。
 その関連でWeb検索していると、統計学の世界で 「 超一般化中心極限定理」なるものが発見されたという記事がありました。 「超」のつかない「一般化中心極限定理」というものもあるようで、 そこでは「安定分布」が中心になります。 正規分布では裾野は指数関数的に急激に減少していきますが、 安定分布ではべき乗関数 \(\small x^{-\alpha}~(\alpha>0)\)のように 緩やかに減少していきます。 そのような分布では、\(\alpha\) の値によっては平均や分散が存在しません。 しかし、同一の分布にしたがう確率変数の和であれば、一定の条件のもとでは 同じような分布にしたがうことは知られています。今回は、 同じ分布ではなくても特定の分布に近づくことが「証明された」という記事です。 しかし、それは物理学の論文誌に発表されたもので、 数学を専門とする方から「証明になっていないのではないか」という コメントがあります。
 私にはどの程度の真実性があるのかの判断はできませんが、 いずれにしろ、世の中では平均や分散の存在しない「べき分布」なるものが 「正規分布」以上に重要であるらしいことを知ることができました。 しかし、べき分布に関して通常の教科書では触れられることはありません。
 そこで、Web検索での理解にもとづき、 無謀ながらべき分布 の解説をしてみることにしました。 ただし、上記のことを知ったのは最近のことなので、 誤解や認識違い、あるいは計算違いがあるかもしれません。 何かお気づきのことがあるときはお知らせください。
2019.06.14 [回帰分析]
「Maximaを活用した数学学習」で 回帰分析の箇所をまとめているところです。 単線形回帰 y=b+mx を行う「simple_linear_reression」は, 全部で18項目の結果を返してきますが、 マニュアルをみても個々の項目の詳細は記述されていません。 その項目をどのような計算で出しているのかは、 Maximaの統計に関するパッケージ「stats.mac」に書かれています。 Maximaのプログラムを読みこなす必要はありますが、 プログラミングの経験がある場合は、 何をやっているのかの概要を把握することができます。

出力される結果の「cond_mean_conf_int」と「new_pred_conf_int」が よく分からなかったので、 プログラム内に記述されている計算式を見てみました。 「確率・統計」の授業は何度か受け持ちましたが、 初めて目にする式で計算されており、 Web検索してもよく分かりませんでした。 それで、 日数教の高専・大学部会で知り合った統計学を専門とする 大内俊二先生(現・下関市立大学)に問い合わせたところ、 これらは回帰直線自体の推定や予測値に関する範囲である ことをご教示いただきました。 通常の統計の授業では、そこまでは解説していません。 改めてWeb検索して、 そのことを解説しているサイトを見つけることができました。 しかし、その内容を解説するには、 かなり高度の統計に関する知識を前提とすることになります。 そこで、解説はしないで、参照サイトを紹介するに留めました。

2019.05.22 [コーシー分布]
3月以来、 「Maximaを活用した数学学習」のページに取り組んでいます。 微分方程式の解析解を求めることができ、 フーリエ変換ラプラス逆変換を求めるコマンドもあります。 答え合わせが簡単にできてグラフをすぐに表示できることは、 数学を学習中の者にとっては絶大な教育効果があると思います。 無料で利用できてスマホにもインストールできるのに、 何故「数式処理」が大きく普及するにいたらないのか不思議でなりません。

統計解析では、昨今「R」に関する書籍が多く出版されています。 現在、Maximaでどこまでの統計解析が できるのかを確認しているところです。 エクセルやRは数値計算であるのに対して、 Maximaでは数式処理ができます。 いろいろな統計量は、ガンマ関数を用いたり、 初等積分不可能な広義積分で表されることがあります。 数式処理機能を用いると、 定義式に基づいた数式計算を行うことができます。 その計算も交えながら学習していけば 統計に関する理解が大きく向上することが期待されます。 特に、20種類以上の確率分布に対して、 その分布にしたがう乱数を発生させることが できるので、いろいろなシミュレーションをするときに 非常に便利な機能だと思います。

統計では「中心極限定理」が重要な役割を果たしますが、 その定理が適用できるのは平均や分散が存在するような確率分布です。 それらが存在しない分布としてコーシー分布があります。 試みに、コーシー分布に したがう乱数を発生させて、 個数を増やしながら平均の値の変化を調べてみました。 個数を幾ら増やしても、平均が一定の値に近づくような気配は 全くありませんでした。 確率統計を担当したことは何度かありましたが、 「平均が存在しない」ということの意味を、 初めて実感できたような気がしました。

■平成31年度
2019.04.13 [TeXmacs]
「Maximaを活用した数学学習」のページの Maximaのインストールの仕方の箇所で、 当初はTeXmacs[1.99.6]+Maxima[5.31.2]での利用と書きましたが、 念のためにもう一度試したら TeXmacs[1.99.9]+Maxima[5.38.1]でも大丈夫でした。 ただし、[5.39.0]では組み込めません。 Maximaの[5.39.0]からインストール先がルートディレクトリ(C:\)に 変わったので、おそらくはそのためではないかと思われます。 TeXmacs側で、挿入するMaximaの場所を修正すればよいのだろうと思いますが、 それが書かれているファイルが分からないので、 どうしようもありません。
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■平成15〜30年度

■平成10〜14年度

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