雑感日誌

2019.08.26: 久々に、グラフ電卓に関する研究会「T3Japan」で発表してきました。発表といっても、以前にまとめたタンチョウの個体数変化を TI-Nspireを用いた解析しただけです。 1コマでは時間的に無理なので2コマで申しこみました。以前は1コマ45分だったのですが、行ってみたら60分になっていました。久々に授業並の声を張り上げて連続2時間話し続けるのは、正直疲れました。; TI-Nspireを用いて実データを解析する作業を参加した皆さんと一緒にやろうと思ったのですが、Nspireを使い慣れていない方が大半なので、ちょっと細かい作業を要求しすぎたかもしれません。このタンチョウの個体数変化は、是非、普及させたい教材なので、次年度は初心者の方でも抵抗なくやれるように工夫してみたいと思います。; 「TI-Nspire CX CAS II」が発売されて、処理速度が2.5倍になったようです。; 今年度の第12回グラフアートカンファレンスでは、グラフ電卓を利用した作品よりも Desmosを利用したものが多かったように思います。複数の曲線を同時に描くために直積を利用したり、多数のギザギザを絶対値関数を何度も入れ子にして描いている作品もありました。

2019.07.27

「Maximaを活用した数学学習」で「確率・統計」部門がかなりの量になってきました。数学記号はMathJaxを駆使しているので、ファイルが大きすぎると読み込んでからの表示に時間がかかってしまいます。そこで、今の段階では5つのファイルに分割しています．いずれも、70KB前後のファイルです。

maxima3 ：記述統計・グラフ・乱数

maxima3a ：正規分布・中心極限定理・カイ二乗分布・t分布・コーシー分布

maxima3b ：ベキ分布・レビ分布

maxima3bs ：安定分布

maxima3c ：回帰分析

画像ファイルは一つのフォルダーにまとめていますが、ファイル数をみると500以上になっていました。そのうち、ファイル名が重複してしまうかもしれません・・・。

先日、津山高専の松田先生より、「数学の才能に関連する遺伝子が発見されたらしい」という情報をお知らせいただきました。中国の研究者によるもののようです。 ( 原文、日本語解説)

2019.07.12: 「Maximaを活用した数学学習」で、べき分布や安定分布の解説をしているところですが、書き進めるにしたがい、日本の統計教育について疑問を感じてきてしまいました。安定分布の解説は無理としても、少なくとも「ベキ分布」は紹介すべきであるように思います。ベキ分布の実例は、正規分布以上に山ほどあります。身の回りは、正規分布よりも、むしろ「ベキ分布」だらけのようです。中心極限定理ばかりを強く刷り込んで、「何でもかんでも正規分布だ！」というようなスタンスで解説することは、その後の思考回路を大きく狂わせてしまうのではないかと危惧します。; 「ベキ分布」には自己相似性があります。グラフの一部を切り出して縦横に伸縮すると元のグラフと重なります。しかし、そのこととフラクタル性とが結びつかないでいましたが、自己相似性を持つ図形をフラクタル図形というのであり、要するに同義語のようです。ベキ分布にしたがう乱数の平均がどのように変わるかをグラフ化すると、激しいギザギザになりました。何しろ、平均も分散も存在しない、つまりは分布を代表する値が存在しないので、平均を何回取っても、どんな値になりそうなのか全く予想ができないということです。おまけに、ときどきとんでもない値がでてきたりします。その状況は、1万個でみても、千個でみても、百個でみても同じでした。一見すると、まったくのメチャクチャな振動のように見えるのですが、その値のヒストグラムを描くとそれなりの分布曲線になります。また、隣どおしの比がどのように変化するかをみると、何とラプラス分布になりました。; それから、安定分布についてしっかり説明することは難しいとは思いますが、少なくとも、同じ分布にしたがう確率変数の和の分布が、同じ分布にしたがう一つの確率変数の1次式の分布と一致するということは述べておくべきではないかと思います。それが、安定分布です。平均や分散が存在しない分布というものがどのような分布で、そのような分布がどのような性質を満たしているのかを紹介する程度のことはやっておくべきなのではないかと感じました。; なお、以上の関連でWeb検索している中で、フラクタルで著名な高安秀樹先生の、フラクタルに関する総合報告的な論文を見つけました。今から30年以上も前のものになりますが、基礎から専門数学部分までを把握するには参考になると思います。

2019.07.05: 「Maximaを活用した数学学習」の安定分布の解説で、分散が発散するような分布では平均の分布がどのようになるかを確認しているところです。 Maximaの登録関数を利用して簡単に済ませるはずだったのですが、レビ分布を試そうと思ったら、何と、レビ分布はMaximaには登録されていませんでした！; そこで、レビ分布の確率密度関数はWikipediaにも掲載されているので、必要な関数を自前で定義してやってみることにしました。乱数の発生は逆関数法を利用して乱数発生のコマンドを作るところまでは到達したのですが、数十個の作成はできても1万個の作成ではエラーが生じました。エラー原因が分からず悩みましたが、おそらく累積確率分布関数の逆関数の定義域の端点付近で、値の処理がうまく行かないからではないかと予想しました。レビ分布の累積分布関数は第二種不完全ガンマ関数で表され、それは変数変換をしていくと誤差関数で表すことができます。誤差関数の逆関数は「inverse_erf」として利用できます。その誤差関数は、標準正規分布の累積確率分布関数「cdf_normal」でも表すことができ、「cdf_normal」の逆関数は「quantile_normal」です。そこで、レビ分布の累積確率分布関数「cdf_levi」を「inverse_erf」や「cdf_normal」を利用して表してやってみましたが、結果は同じでした。; 困ってしまいました。Wikipediaには、誤差関数の逆関数の級数展開の式があるので、それを利用してやってみるとうまく行きましたが、 Maximaに登録されている「inverse_erf」とグラフを比較してみると、端点付近での違いは無視できません。単純に級数の項数を増やしても、その違いを解消できませんでした。; 乱数を発生させるコマンドは作成できているので、とりあえず、レビ分布にしたがう乱数になっていることを確認してみることにしました。つまり、複数個の平均ではなく、乱数1個だけの分布を確認することにしました。 1個だけにして要素数1万個のリストを作成したら、すんなり作成できてしまいました。エラーが生じることもありますが、数回試すと作成されました。平均の分布を調べようとしていたので、最初は他の分布で試したのと同じ 5個平均からなる要素数1万個のリストの作成でエラーが生じていたことになります。そのリストを作成するには乱数が5万個必要です。そこで、わりと作成されやすい1万個ずつの乱数を多数回作成して、そのリストを合わせて5万個と10万個の乱数を得ることができ、やって当初予定した5個と10個の平均からなるリストを作成することができました。いずれも、裾部分がもとの分布を定数倍したものになっていました。

2019.06.29: 「Maximaを活用した数学学習」で、何とか非線形回帰を行うパッケージ「lsquares」の解説を書き終えました．グラフ電卓との関係では、タンチョウの個体数変化のときに指数回帰を行ったことがあります。昨年に作成したNspire操作マニュアルの統計関係の箇所も参照しながら作成しました。; 　その関連でWeb検索していると、統計学の世界で「超一般化中心極限定理」なるものが発見されたという記事がありました。「超」のつかない「一般化中心極限定理」というものもあるようで、そこでは「安定分布」が中心になります。正規分布では裾野は指数関数的に急激に減少していきますが、安定分布ではべき乗関数 \(\small x^{-\alpha}~(\alpha>0)\)のように緩やかに減少していきます。そのような分布では、\(\alpha\) の値によっては平均や分散が存在しません。しかし、同一の分布にしたがう確率変数の和であれば、一定の条件のもとでは同じような分布にしたがうことは知られています。今回は、同じ分布ではなくても特定の分布に近づくことが「証明された」という記事です。しかし、それは物理学の論文誌に発表されたもので、数学を専門とする方から「証明になっていないのではないか」というコメントがあります。; 　私にはどの程度の真実性があるのかの判断はできませんが、いずれにしろ、世の中では平均や分散の存在しない「べき分布」なるものが「正規分布」以上に重要であるらしいことを知ることができました。しかし、べき分布に関して通常の教科書では触れられることはありません。
　そこで、Web検索での理解にもとづき、無謀ながらべき分布の解説をしてみることにしました。ただし、上記のことを知ったのは最近のことなので、誤解や認識違い、あるいは計算違いがあるかもしれません。何かお気づきのことがあるときはお知らせください。

2019.06.14: 「Maximaを活用した数学学習」で回帰分析の箇所をまとめているところです。単線形回帰 y=b+mx を行う「simple_linear_reression」は，全部で18項目の結果を返してきますが、マニュアルをみても個々の項目の詳細は記述されていません。その項目をどのような計算で出しているのかは、 Maximaの統計に関するパッケージ「stats.mac」に書かれています。 Maximaのプログラムを読みこなす必要はありますが、プログラミングの経験がある場合は、何をやっているのかの概要を把握することができます。
出力される結果の「cond_mean_conf_int」と「new_pred_conf_int」がよく分からなかったので、プログラム内に記述されている計算式を見てみました。「確率・統計」の授業は何度か受け持ちましたが、初めて目にする式で計算されており、 Web検索してもよく分かりませんでした。それで、日数教の高専・大学部会で知り合った統計学を専門とする大内俊二先生(現・下関市立大学)に問い合わせたところ、これらは回帰直線自体の推定や予測値に関する範囲であることをご教示いただきました。通常の統計の授業では、そこまでは解説していません。改めてWeb検索して、そのことを解説しているサイトを見つけることができました。しかし、その内容を解説するには、かなり高度の統計に関する知識を前提とすることになります。そこで、解説はしないで、参照サイトを紹介するに留めました。

2019.05.22: 3月以来、「Maximaを活用した数学学習」のページに取り組んでいます。微分方程式の解析解を求めることができ、フーリエ変換やラプラス逆変換を求めるコマンドもあります。答え合わせが簡単にできてグラフをすぐに表示できることは、数学を学習中の者にとっては絶大な教育効果があると思います。無料で利用できてスマホにもインストールできるのに、何故「数式処理」が大きく普及するにいたらないのか不思議でなりません。
統計解析では、昨今「R」に関する書籍が多く出版されています。現在、Maximaでどこまでの統計解析ができるのかを確認しているところです。エクセルやRは数値計算であるのに対して、 Maximaでは数式処理ができます。いろいろな統計量は、ガンマ関数を用いたり、初等積分不可能な広義積分で表されることがあります。数式処理機能を用いると、定義式に基づいた数式計算を行うことができます。その計算も交えながら学習していけば統計に関する理解が大きく向上することが期待されます。特に、20種類以上の確率分布に対して、その分布にしたがう乱数を発生させることができるので、いろいろなシミュレーションをするときに非常に便利な機能だと思います。
統計では「中心極限定理」が重要な役割を果たしますが、その定理が適用できるのは平均や分散が存在するような確率分布です。それらが存在しない分布としてコーシー分布があります。試みに、コーシー分布にしたがう乱数を発生させて、個数を増やしながら平均の値の変化を調べてみました。個数を幾ら増やしても、平均が一定の値に近づくような気配は全くありませんでした。確率統計を担当したことは何度かありましたが、「平均が存在しない」ということの意味を、初めて実感できたような気がしました。

■平成31年度

2019.04.13: 「Maximaを活用した数学学習」のページの Maximaのインストールの仕方の箇所で、当初はTeXmacs[1.99.6]＋Maxima[5.31.2]での利用と書きましたが、念のためにもう一度試したら TeXmacs[1.99.9]＋Maxima[5.38.1]でも大丈夫でした。ただし、[5.39.0]では組み込めません。 Maximaの[5.39.0]からインストール先がルートディレクトリ(C:\)に変わったので、おそらくはそのためではないかと思われます。 TeXmacs側で、挿入するMaximaの場所を修正すればよいのだろうと思いますが、それが書かれているファイルが分からないので、どうしようもありません。

■平成30年度

2019.03.31: 以前に、「Google Search Console Team」からモバイルユーザビリティの問題があるとのメールがきたことがあります。今度は、「emath.html」について「クリック可能な要素同士が近すぎる」「テキストが小さすぎて読めない」「コンテンツの幅が画面の幅を超えている」という問題が検出されたので、「できるだけ解決するように」とのメールが届きました。
しかし、スマホ実機でチェックしましたが、そのような状況は確認できませんでした。スマホで何度かアクセスすると、 emath.htmlではMathJaxを使用しているので、その読み込みのために画面が正しく表示されるまでに若干の時間がかかります。読み込み最中の画面は横長に表示されるので、ひょっとすると、その画面をもとに「問題あり」と判定されたのかもしれません。

2019.03.30

数式処理のできるグラフ電卓と出会ってから、この機器の普及を目指していろいろやってきたつもりですが、結果的には大きな動きを引き起こすには至りませんでした。関心を持つ一部の教員のツールに留まっているのは残念でなりません。

そのような中でスマホにインストールできる「Maxima」があることを知り、ほぼ全員がすでにスマホを所持していることから、一つの期待を込めて「いつでも・どこでも・スマホで数学」を出しましたが、出版当時の日本の若者は7割近くがiPhoneでした。最近は、全体としてみるとAndroidが盛り返しているようですが、 10代・20代の主流は依然としてiPhoneのようです。

しかし、スマホ所持者はPCも所持していると思われ、 MaximaはPCであればOSを問わずにインストールできます。そこで、「操作解説」の「Maxima」を独立したページにしてPC版Maximaの解説を試みることにしました。さしあたっては、ダウンロードとインストールの仕方、そして、いろいろなMaximaについて解説しました。今後は、使用法の解説を追加予定です。

PC版のMaximaでは「wxMaxima」を使用することになりますが、その出力式は斜体で表示されるので TeXを利用していると何となく気持ち悪いです。 TeXmacsを利用すると結果をTeXで出力することができますが、 TeXmaxcとMaximaのバージョンには相性があるようです。相性の合うバージョンは最新版ではありませんが、 Maxima自体は古い歴史を持つものなので、バージョンが多少古くても、通常使用する上では特に問題はないのだろうと思います。

一方、Unix系のエディターであるEmacs上で動作するMaximaとして「imaxima」があります。 imaximaの出力もTeXmacsと同様にTeXで得られているようです。そこで、紹介ついでにimaximaの解説もしようと思いましたが、前提となるEmacsのインストールでつまずいてしまいました・・・。以前、Emacs系のエディターである「Mule」に漢字変換には「SKK」を組み込んで使用していたことがあるので軽く考えていましたが、使い方をすっかり忘れてしまったようです。 imaximaはEmacs上のアプリなので、そもそもEmacsが使えないとimaximaは利用できません。

　実際に利用するには初期ファイル(init.el)の設定が必要ですが、それはLisp言語で書かれているので、 Lisp言語の仕様をある程度理解していないと意味不明です。結局はWeb検索で得られたファイルをコピーして使用するしかないのですが、それではうまく行きませんでした。仕方ないので、幾つかのリンク先を紹介するに留めました。ちなみに、日本語の全角と半角英数字が混在する文章を作成するとき、「SKK」は非常に便利でした。

2019.03.26: いろいろなファイルをDLmarketにも登録して、ゆくゆくは紙媒体としても提供できるようにと思っていましたが、 DLmarketは不正アクセスにより一部の登録情報の流出事故が起こりました。幸いにして私の情報は含まれていませんでしたが、原因解明と防止対策を図るためDLmarketのサービスは停止されました。その後、外部機関も含めて検討した結果、そう簡単には再開できないことが判明し、結局は「サービス終了」の道を選ぶことになったようです。DLmarketは、手軽に自費出版のような形の書籍化ができるサービスだったのですが、非常に残念です。

2019.03.22

「数学学習：リンク集」が「はてなブックマーク」に登録されたことにより一気にアクセス数が激増して喜んでいたのですが、どうやら一過性のものだったようです。数日後には、通常のアクセス数に戻りました。
タッチアイコンのエラーを解消すべくトップ画像の一部を切り出してタッチアイコンを登録したのですが、他のサイトをみるとイニシャルやアルファベットで登録するのが一般的なようです。そこで、本サイトのURLの最初の2文字を利用して作成し直しました。フォントは、フリーの「Bellico フォント」を利用しました。前のアイコンと差し替えてもらえればと思います。

2019.03.15

「apple-touch-icon」を作成して登録したところ、そのファイルによる「404」エラーが一気に減りました。ただし、トップ画像を単にアイコン仕立てにしただけのものなので、そのうち別なファイルで置きかえたいと思います。登録したのは、トップ画像の左側を切り出して、 iPhone Style Icon Generatorにより作成したものです。
Google Analysis やニフティのアクセス解析をみると、 3月14日のアクセス数が激増していました。何事かと思って調べると、どなたかが「数学学習：リンク集」を「はてなブックマーク」に登録してくれたことによるようです。大手サイトの威力をまざまざと感じさせられました。登録してくれた方、ありがとうございました。

2019.03.10

ニフティのホームページサービスでは、日々のアクセス状況の解析結果も提供されており、個々のページのアクセス状況などを知ることができます。基本的にはグラフ電卓のサイトなのに、多くアクセスされるのは「TeXの部屋」だったりするのは残念なところです。

アクセス解析では、エラーが検出される箇所を指摘してくれます。特に、「Document Not Found」というエラーは、「404」のエラーコードで記録されます。以前は「robot.txt」が無いというエラーが多かったのですが、久しぶりに見たら、「apple-touch-icon.png」など「apple-touch-icon-***.png」というファイルのエラーが多数記録されていました。そのようなファイルを作成した覚えはないのでWeb検索で調べると、 iPhone用のSafariでは、ブックマークをホーム画面に追加するとサイトのアイコンを追加するようです。その場合に登録すべき「アイコンが無い」というエラーのようです。 iPhoneのSafariは，ファイルが無いときはサイト画面をキャプチャーしてアイコンを勝手に作って登録するようですが、おそらくは綺麗な画面ではないのだろうと思うので、そのうち作成を試みたいと思います。以上のことは、下記のサイトで解説されています。画像をアップすると、 Safariのアイコンを作ってくれるサイトもあるようです。

また、emathに登録されるべきファイルでもエラーが出ていました。htmlファイルだけ転送して、画像ファイルを転送していなかったようなので、急遽転送しておきました。昨年、Nspireのマニュアルを作成しているときは微修正するごとにファイル名を変更して、前のファイルは削除しています。 TeXの教材例のファイルも、以前のファイルは削除して一新しました。これらのページでの「File not Found」は、それらが過去のファイルで削除されていることによるものです。

2019.03.04

TeXを利用すると多様なフォントを利用できるのですが、私自身はフォント自体を変更する必要性をあまり感じていませんでした。十数年以上も前に試しにやってみたときの経験では、 ttfフォントをTeXで利用できるフォントに変換するにあたっては、 .fd や.map などの拡張子を持つファイルを自分で設定しなければならないなど、かなり面倒な印象でした。

しかし、今では、そのような設定をせずに簡単にフォントを変えることができるパッケージがあるようです。「PXchfonパッケージ」です。試してみたら、非常に簡単でした。単にインストールして、明朝体とゴシック体で使用するTTFのフォント名を変更するだけです。サンプルファイルでは、明朝体としてHG行書体が、ゴシック体としてHG創英角ポップ体が指定されています。

明朝体の部分を、手書き風フォントで有名な「みかちゃんフォント」(TTF)で指定したら、文字が手書き風になりました。ただし、プリアンブルでの指定になり、本文中で他のフォントに変更することはできません。また、dvioutには対応しておらず、dvipdfmxでPDFにして確認する必要があります。

下記は、試みに、この箇所の説明をTeXの文書にして、 PDFで表示される画面の左半分を切り取ったものです。

2019.02.28: 「gnuplotによるグラフの作成法」のページを公開しましたが、作成時は日本語が利用できるとは思っていませんでした。その後、デフォルトでも日本語が利用できることに気づきました。ただし、グラフ画面には正しく書き込まれて表示されますが、コマンドを入力する画面にはきちんと表示されません。その場合は、コマンドを書き込んだファイルを用意して、それをgnuplotのコマンド入力画面に「ドロップ」すると勝手に「load」してくれるようです。しかし、グラフ画面にうまく表示できても、それをeps保存すると文字化けしてしまいます。フォントの調整などで対応できるはずなのですが、解決できませんでした。どうしても日本語を使いたい場合は、どうやら「epslatex」指定をしてファイル保存し、出力されたtexファイルを修正すればよいようです。 gnuplotは、工学実験の論文図などにも利用されていて多彩な曲面なども描画できます。多少の手間はかかっても、華麗なグラフを作成するときは必須のツールと思われます。

2019.02.20: TI89をPC上でエミュレートするソフトにvtiというものがありますが、 Windows10では動作しませんでした。何気なく検索したら、
何と、AndroidにインストールできるTI89のエミュレーターがあるようです！
所持しているスマホはAndroidなので、さっそくインストールしてみたら、スマホ画面がTI-89の画面になり数式処理やグラフ描画もできました！非常に感激しているところです。ただし、スマホにインストールして利用するのは、「既にTI-89を所持している」ことが前提になると思われます。インストール方法を解説しているサイトをリンク集に追加しました。

2019.02.17

数学の授業プリントを作成する上では、いろいろな関数のグラフを気軽に取り入れることができるのが望ましいです。しかし、プリントに取り入れ可能なグラフを作成するのは、それを作成するアプリの使い方に慣れていないと難しいものがあります。 emath利用は一つの解決策ですが、関数の式が複雑になってくると、それを定義するのも面倒です。本格的なフリーのグラフ作成ツールの中で、理工系の論文作成でも利用されているソフトに「gnuplot」があります。 2変数関数のグラフを描画すると、そのグラフ画面で曲面をグリグリと回転させることもでき、適当な平面との切断面を表示させることもできます。関数のグラフ作成上は、 emathに加えてgnuplotも利用できるようになれば非常に望ましいと思われますが、問題は、「描画したグラフをどのようにしてTeXに取り入れるか」という部分です。

著者の経験上でも、TeXへの取り入れ方について念入りに解説しているサイトは、あまり見られませんでした。そこで、gnuplotの使い方に加えて、 TeXで利用できるepsファイルへの保存方法と、それを利用した数学教材の作成の仕方を目標とした解説ページを作成してみました。教材作成の上で参考になれば幸いです。

そのページの作成過程で、画像を含むdviファイルをpdf変換すると図の位置が微妙にずれるときの対応方法について知りました。今までは、その原因を探ることもなく、ずれたままのPDFで済ましていました・・・。対応法は、単に[dvipdfmx]というオプション指定を追加するだけでした。

2019.01.28: これまでTeXを利用してpdfファイルを生成するときは、 platexでタイプセットして生成されたdviファイルを、 dvipdfmxを利用してpdfに変換していました。今、何気なく pdfplatex でタイプセットしたら、 dviファイルとともにpdfファイルも一気に生成されました！
思い起こすと、pdfplatex.bat は以前からありましたが、その当時はWinFDからうまく動作しなかったため、 2段構えで利用してきたような気がします。一気にpdfファイルが生成されるとはいっても、 dviファイルを生成してからpdfに変換する行程を、単にバッチファイルで指定しているだけです。多数の画像を含む大きなファイルの場合は、 pdfにするにはかなりの時間がかかります。 Nspireのマニュアルで全章をまとめたファイルをPDFにするには、席を離れてお茶を飲めるくらいの時間が必要です。他に配布する必要がないときは、 dviファイルが生成されるだけで十分なような気がします。